Question

30. ТочкаP лежить усередині рівнобедреного трикутника ABC(AB=BC), причому кут ABC=80°, кут PAC=40°, кут ACP=30°. Знайдіть кут BPC.

Answer 1

Ответ:

∠ BPC = 100°

Объяснение:

ΔABC - равнобедренный, с основанием АС. Боковые стороны:AB=BC,

∠ABC=80°, ∠PAC=40°, ∠ACP=30°. Требуется найти ∠BPC.

1) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:

∠А=∠С=(180°-∠В) ÷ 2 = (180°-80°) ÷ 2 = 50°

∠ВАР=∠А-∠PAC= 50°-40°=10°

2)Проведём высоту ВD в равнобедренном ΔАВС. ВD⊥АС. Точка Е - точка пересечения отрезка СР с высотой ВD.

Так как в равнобедренном треугольнике высота является также биссектрисой и медианой, то ВD - биссектриса ∠В: ∠АВD=∠СВD=40°. АD=DС, а ΔЕDА=ΔЕDС по двум катетам. ⇒ ∠ЕАD=∠АСР=30°

∠РАЕ=∠РАС-∠ЕАD=40°-30°=10°

∠ВАР=∠РАЕ=10°, следовательно АР - биссектриса ∠ВАЕ ΔАВЕ.

3) По теореме о внешнем угле треугольника:

∠АЕР=∠ЕАС+∠ЕСА=30°+30°=60° (∠АЕР - внешний угол ΔАЕС)

∠АЕВ=∠ЕАD+∠АDЕ=30°+90°=120° (∠АЕВ - внешний угол ΔАЕD)

⇒ ∠ВЕР=∠АЕВ- ∠АЕР=120°-60°=60°

∠ВЕР= ∠АЕР=60°. Следовательно ЕР - биссектриса ∠АЕВ ΔАВЕ.

Следовательно точка Р - точка пересечения биссектрис ΔАВЕ.

ВР - биссектриса ∠АВЕ.

∠ЕВР=∠АВР=40° ÷ 2 = 20°

4) ΔВРЕ.

∠РРЕ=∠ВРС=180°-∠ЕВР-∠ВЕР=180°-20°-60°=100°

#SPJ1

Answer 2

Для вирішення цієї задачі скористаємося внутрішнім кутовим бісектрисою. Відомо, що кут PAC = 40°, а кут ACP = 30°.

За властивостями внутрішніх кутових бісектрис трикутника, точка P лежить на бісектрисі кута BAC. Оскільки трикутник ABC є рівнобедреним зі сторонами AB і BC, то кути BAC і BCA також дорівнюють 80°.

Отже, ми знаємо, що кут PAC = 40°, а кут ACP = 30°, і кути BAC і BCA дорівнюють 80°. Застосуємо тепер внутрішню суму кутів в трикутнику ABC:

Кут BPC = (кут BAC + кут ACP + кут PAC) - 180° = (80° + 30° + 40°) - 180° = 150° - 180° = -30°

Отже, кут BPC дорівнює -30°.