Question

У трикутнику abc позначили точку k так, що вписані кола трикутників abk і bck дотикаються. Доведіть що точка k належить вписаному колу трикутника abc

Answer 1

Ответ: Доказательство во вложенном файле.

Объяснение: Доказательство во вложенном файле.

Answer 2

Для доведення, що точка K належить вписаному колу трикутника ABC, ми можемо використати властивість вписаних кутів.

За умовою, коло, вписане в трикутник ABK, дотикається до сторін AB і BK. Аналогічно, коло, вписане в трикутник BCK, дотикається до сторін BC і CK.

Нехай точка O1 є центром кола, вписаного в трикутник ABK, а точка O2 - центром кола, вписаного в трикутник BCK.

Тоді за властивістю вписаних кутів, кут ABK буде дорівнювати півсумі кутів, які описують дуги на колі, засвідчені сторонами AB та BK. Аналогічно, кут BCK дорівнює півсумі кутів, які описують дуги на колі, засвідчені сторонами BC та CK.

Оскільки коло, вписане в трикутник ABK, дотикається до сторон AB і BK, то використовуючи властивість дотику, отримуємо, що кут ABK є прямим кутом. Аналогічно, кут BCK також є прямим кутом.

Таким чином, ми маємо два прямих кути в трикутнику ABC, що свідчить про те, що точка K лежить на вписаному колі трикутника ABC.