Question

Основи трапеції дорівнюють 2 см і 8 см. Знайдіть радіуси двох кіл: вписаного в трапецію й описаного навколо неї, коли відомо, що такі кола існують.

Answer 1

Ответ:

$r=2,\ R=\frac{{5\sqrt {41} }}{8}$

Объяснение:

Условием того, что в четырехугольник можно вписать окружность, является равенство сумм противоположных сторон. Так как основания равны 2 и 8, то сумма боковых сторон равна $2 + 8 = 10,$ значит каждая из боковых сторон по 5.

Опустим высоты $BF$ и $CE$ на нижнее основание, тогда

$AF = ED = \displaystyle\frac{{8 - 2}}{2} = 3.$

По теореме Пифагора из треугольника $CED$ $\[CE = h = \sqrt {C{D^2} - E{D^2}} = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4.\]$

$r = \displaystyle\frac{h}{2} = \displaystyle\frac{4}{2} = 2.$

Окружность, описанная вокруг трапеции, описана и вокруг треугольника $ACD.$ Найдем радиус описанной окружности в этом треугольнике. Из треугольника $AEC$ по теореме Пифагора

$AC = \sqrt {A{E^2} + C{E^2}} = \sqrt {{5^2} + {4^2}} = \sqrt {41}\cdot {S_{AEC}} = \displaystyle\frac{1}{2}AD \cdot CE = \displaystyle\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 = 16.$

Тогда

$R = \displaystyle\frac{{abc}}{{4S}} = \displaystyle\frac{{\sqrt {41} \cdot 5 \cdot 8}}{{4 \cdot 16}} = \displaystyle\frac{{5\sqrt {41} }}{8}.$

Answer 2

Щоб знайти радіуси вписаного й описаного кола навколо трапеції, спочатку нам потрібно знайти довжину основи трапеції, а потім використати формули, пов'язані з колами, що опуклій фігурі.

Для знаходження довжини основи трапеції, можна скористатися теоремою Піфагора для правильного трикутника, утвореного діагоналями трапеції та відрізком між серединами основ:

Діагональ трапеції = √[(довжина меншої основи)^2 + (довжина більшої основи)^2] Діагональ трапеції = √[(2 см)^2 + (8 см)^2] Діагональ трапеції = √[4 см^2 + 64 см^2] Діагональ трапеції = √68 см^2 Діагональ трапеції ≈ 8,246 см

Тепер, коли ми знаходимо довжину діагоналі трапеції, ми можемо використати наступні формули:

Радіус вписаного кола = (довжина меншої основи + довжина більшої основи - довжина діагоналі трапеції) / 4 Радіус вписаного кола = (2 см + 8 см - 8,246 см) / 4 Радіус вписаного кола = 2,754 см / 4 Радіус вписаного кола ≈ 0,6885 см

Радіус описаного кола = (довжина діагоналі трапеції) / 2 Радіус описаного кола = 8,246 см / 2 Радіус описаного кола = 4,123 см

Отже, радіус вписаного кола навколо трапеції приблизно дорівнює 0,6885 см, а радіус описаного кола становить 4,123 см.