Question

Найдите углы треугольника с вершинами а (-1; 1) b (3;1) c(3;5)​

Answer 1

Дано:

а(-1; 1), b(3; 1), c(3; 5)​

----------------

∠a, ∠b, ∠c - ?

Решение:

Если даны координаты точек A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂), то длина отрезка АВ находится по следующему формулу:

$AB=\sqrt{(x_{2} -x_{1} )^{2} +(y_{2} -y_{1} )^{2} }$

Применяя это, находим длины сторон треугольника по координатам вершин:

$ab=\sqrt{(3-(-1))^{2} +(1-1)^{2} }=\sqrt{(3+1)^{2} +0^{2} }=\sqrt{4^{2} +0}=\sqrt{16} =4$

$bc=\sqrt{(3-3)^{2} +(5-1)^{2} }=\sqrt{0^{2} +4^{2} }=\sqrt{0+16}=\sqrt{16} =4$

$ca=\sqrt{(-1-3)^{2} +(1-5)^{2} }=\sqrt{(-4)^{2} +(-4)^{2} }=\sqrt{16+16}=\sqrt{32} =4\sqrt{2}$

Две стороны треугольника равны, значит это равнобедренный треугольник. В нем углы при основании равны:

∠a = ∠c

Воспользуемся теоремой косинусов и найдем угол ∠a:

$cosa=\frac{ab^{2} +ca^{2} -bc^{2} }{2*ab*ca}$

$cosa=\frac{4^{2} +(4\sqrt{2} )^{2} -4^{2} }{2*4*4\sqrt{2} }=\frac{16*2}{32\sqrt{2} }=\frac{32}{32\sqrt{2} }=\frac{1}{\sqrt{2} } *\frac{\sqrt{2} }{\sqrt{2} } =\frac{\sqrt{2} }{2}$

∠$a=arccos\frac{\sqrt{2} }{2}$

∠a = 45°

∠c = 45°

∠a + ∠b + ∠c = 180°

45° + ∠b + 45° = 180°

∠b + 90° = 180°

∠b = 180° - 90°

∠b = 90°

Выходит, углы треугольника равны 45°, 90° и 45°.

Ответ: 45°, 90° и 45°.

Answer 2

Для нахождения углов треугольника с вершинами A(-1, 1), B(3, 1) и C(3, 5) можно использовать теорему косинусов.

Первым шагом определим длины сторон треугольника. Для этого вычислим расстояния между вершинами:

AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) = √((3 - (-1))² + (1 - 1)²) = √(4² + 0²) = √16 = 4.

AC = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) = √((3 - (-1))² + (5 - 1)²) = √(4² + 4²) = √32 = 4√2.

BC = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) = √((3 - 3)² + (5 - 1)²) = √(0² + 4²) = 4.

Теперь мы можем использовать теорему косинусов, чтобы найти углы треугольника.

Для угла A: cos(A) = (BC² + AC² - AB²) / (2 * BC * AC) = (4² + (4√2)² - 4²) / (2 * 4 * 4√2) = (16 + 32 - 16) / (8√2) = 32 / (8√2) = 4 / √2 = 2√2.

Угол A = arccos(2√2) ≈ 45°.

Для угла B: cos(B) = (AC² + AB² - BC²) / (2 * AC * AB) = ((4√2)² + 16 - 4²) / (2 * 4√2 * 4) = (32 + 16 - 16) / (8√2) = 32 / (8√2) = 4 / √2 = 2√2.

Угол B = arccos(2√2) ≈ 45°.

Для угла C: cos(C) = (AB² + BC² - AC²) / (2 * AB * BC) = (16 + 4² - (4√2)²) / (2 * 4 * 4) = (16 + 16 - 32) / (8√2) = 0 / (8√2) = 0.

Угол C = arccos(0) = 90°.

Таким образом, углы треугольника ABC равны: A ≈ 45°, B ≈ 45°, C = 90°.