Question

Дан треугольник ABC. Медиана BM перпендикулярна биссектрисе AL, причём BL=5. Найдите LM.

Answer 1

Ответ:

LM = 5 ед.

Объяснение:

Пусть точка К - точка пересечения медианы ВМ и биссектрисы AL. Тогда в треугольнике АВМ биссектриса АК является и высотой (АК⊥ВМ - дано). Следовательно, АК и медиана, и ВК = КМ.

В треугольнике ВLM отрезок LK - высота и медиана. Значит это равнобедренный треугольник с основанием ВМ.

Тогда BL = LM = 5 см.

Answer 2

Пусть точка L разделяет сторону BC на отрезки BL и LC, где BL = 5, а LC = x (неизвестная длина). Также пусть точка M является серединой стороны AC.

Так как BM является медианой треугольника ABC, то она делит сторону AC пополам. Значит, AM = MC.

Также, по условию, медиана BM перпендикулярна биссектрисе AL. Это означает, что треугольник ABM подобен треугольнику ACL по принципу угол-угол (по двум прямым углам).

Так как AM = MC, то соответствующая сторона AB треугольника ABM будет пропорциональна соответствующей стороне AC треугольника ACL. То есть, AB/LB = AC/LC.

Подставляя известные значения, получаем: AB/5 = AC/x.

Так как треугольники ABM и ACL подобны, соотношение сторон AB/AC должно быть равно соотношению сторон BM/CL.

AB/AC = BM/CL.

Подставляя известные значения, получаем: AB/AC = BM/5.

Так как треугольники ABM и ACL подобны, у них соответствующие углы равны. Это означает, что треугольники ABM и ACL являются равнобедренными.

Так как треугольник ABM является равнобедренным, то у него медиана BM является высотой. Значит, угол B в треугольнике ABM является прямым углом.

Так как треугольник ACL также является равнобедренным, то у него угол A равен углу C.

Таким образом, получаем систему уравнений:

AB/5 = AC/x (1) AB/AC = BM/5 (2) ∠A = ∠C (3)

Из уравнения (1) можно выразить AB через AC: AB = (5 * AC) / x.

Подставляем это значение в уравнение (2): ((5 * AC) / x) / AC = BM / 5.

Упрощаем: 5AC = BMx.

Также, по условию известно, что BM является медианой, что означает, что AM = MC. Значит, AC = 2AM.

Подставляем это значение в предыдущее уравнение: 5(2AM) = BMx.

Упрощаем: 10AM = BMx.

Так как AM = MC, получаем: 10MC = BMx.

Так как у тре