Question

Знайдіть косинус кута між векторами a=(-5;3) b=(2;4)

Answer 1

Задание: Найти косинус угла между векторами а=(-5; 3) и b=(2; 4).

Решение:

Чтобы найти косинус угла между векторами нужно, скалярное произведение этих векторов разделить на произведение их длин.

Воспользуемся формулой:

$\displaystyle \cos \alpha = \frac{( \vec{a}, \vec{b})}{ | \vec{a}| \cdot | \vec{b}| } = \frac{ a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y}{ \sqrt{a {}^{2} _x + a {}^{2} _y} \cdot\sqrt{b {}^{2} _x + b {}^{2} _y}}.$

Подставляем свои данные:

$\displaystyle \cos \alpha = \frac{ - 5 \cdot2 + 3 \cdot4}{ \sqrt{( - 5) {}^{2} + 3 {}^{2} } \cdot\sqrt{2 {}^{2} + 4 {}^{2} } } = \frac{ \sqrt{170} }{170} .$

Ответ: √170/170.

Answer 2

Для того, щоб знайти косинус кута між векторами a і b, спочатку використаємо формулу скалярного добутку:

a · b = |a| * |b| * cos(θ),

де a · b - скалярний добуток векторів a і b, |a| і |b| - довжини векторів a і b, cos(θ) - косинус кута між векторами a і b.

Вектори a=(-5;3) і b=(2;4) мають наступні довжини:

|a| = √((-5)^2 + 3^2) = √(25 + 9) = √34, |b| = √(2^2 + 4^2) = √(4 + 16) = √20.

Тепер можемо обчислити скалярний добуток a · b:

a · b = (-5 * 2) + (3 * 4) = -10 + 12 = 2.

Тепер використаємо отриманий скалярний добуток та довжини векторів, щоб знайти косинус кута між векторами:

2 = √34 * √20 * cos(θ).

Ділимо обидві частини на (√34 * √20):

cos(θ) = 2 / (√34 * √20) ≈ 0.276.

Отже, косинус кута між векторами a і b приблизно дорівнює 0.276.