Question

6. Как расположен x2+y+z2-8x+4y+2z-4=0 в следующем кубе относительно сферы: а) А(5;1;2) ǝ)В(4;2;2) в) С(3;2;2)​

Answer 1

Ответ:

Для определения положения уравнения x^2 + y + z^2 - 8x + 4y + 2z - 4 = 0 в кубе относительно сферы необходимо найти расстояние от центра куба до центра сферы и до точек пересечения сферы с каждой из сторон куба.

Для точки А(5;1;2) найдем расстояние до центра куба, который имеет вершины (3,3,3) и (3,3,1):

d = √[(5-3)^2 + (1-3)^2 + (2-3)^2] = √[4+4+1] = √9 = 3

Точка А находится вне сферы, если ее радиус R = 2, так как d > R. Следовательно, уравнение x^2 + y + z^2 - 8x + 4y + 2z - 4 = 0 находится снаружи куба относительно сферы.

Для точки В(4;2;2) найдем расстояние до центра куба:

d = √[(4-3)^2 + (2-3)^2 + (2-3)^2] = √[1+1+1] = √3

Точка В находится внутри сферы, если ее радиус R = 2, так как d < R. Следовательно, уравнение x^2 + y + z^2 - 8x + 4y + 2z - 4 = 0 находится внутри куба относительно сферы.

Для точки С(3;2;2) найдем расстояние до центра куба:

d = √[(3-3)^2 + (2-3)^2 + (2-3)^2] = √[1+1+1] = √3

Точка С находится на грани куба, поэтому ее положение относительно сферы неоднозначно. Для точек на грани куба необходимо найти расстояние от точки до центра сферы и проверить, находится ли она внутри сферы.

Таким образом, уравнение x^2 + y + z^2 - 8x + 4y + 2z - 4 = 0 расположено снаружи куба относительно сферы в точке А(5;1;2), внутри куба в точке В(4;2;2) и положение относительно сферы для точки С(3;2;2) неоднозначно.

Answer 2

Для определения расположения уравнения x^2 + y + z^2 - 8x + 4y + 2z - 4 = 0 относительно сферы в кубе, нужно сравнить значения выражения x^2 + y + z^2 - 8x + 4y + 2z - 4 с радиусом сферы в каждой из указанных точек. Если это выражение меньше радиуса сферы, то уравнение находится внутри сферы. Если оно больше радиуса сферы, то уравнение находится вне сферы. Если оно равно радиусу сферы, то уравнение лежит на поверхности сферы.

Предположим, что радиус сферы равен R.

а) Для точки А(5;1;2): Выражение x^2 + y + z^2 - 8x + 4y + 2z - 4 при подстановке x = 5, y = 1 и z = 2 принимает следующее значение: 5^2 + 1 + 2^2 - 85 + 41 + 2*2 - 4 = 25 + 1 + 4 - 40 + 4 + 4 - 4 = 4. Если это значение меньше R, то уравнение находится внутри сферы.

b) Для точки В(4;2;2): Выражение x^2 + y + z^2 - 8x + 4y + 2z - 4 при подстановке x = 4, y = 2 и z = 2 принимает следующее значение: 4^2 + 2 + 2^2 - 84 + 42 + 2*2 - 4 = 16 + 2 + 4 - 32 + 8 + 4 - 4 = 2. Если это значение меньше R, то уравнение находится внутри сферы.

в) Для точки С(3;2;2): Выражение x^2 + y + z^2 - 8x + 4y + 2z - 4 при подстановке x = 3, y = 2 и z = 2 принимает следующее значение: 3^2 + 2 + 2^2 - 83 + 42 + 2*2 - 4 = 9 + 2 + 4 - 24 + 8 + 4 - 4 = -1. Если это значение меньше R, то уравнение находится внутри сферы.

Вывод: Уравнение x^2 + y + z^2 - 8x + 4y + 2z - 4 = 0 находится внутри сферы во всех указанных точках А(5;1;2), В(4;2;2) и С(3;2;2).