Question

ДАЮ 100 БАЛОВ СРОЧНО ОДНА ЗАДАЧА! Гострий кут паралелограма дорівнює 45°. Знайдіть висоту паралелограма, якщо його периметр дорівнює 80 , а діагональ ділить його тупий кут у відношенні 1: 2.

Answer 1

Оскільки гострий кут паралелограма дорівнює 45°, то паралелограм є ромбом. Отже, діагоналі ромба перпендикулярні одна до одної і діляться пополам.

Позначимо сторону ромба як a і висоту як h. Оскільки ромб є паралелограмом, то його протилежні сторони рівні за довжиною, тому a = (80 / 4) = 20.

Оскільки діагональ ділить тупий кут у відношенні 1:2, то одна діагональ ділиться на три частини, причому дві з них мають однакову довжину, а третя - удвічі довша. Позначимо діагоналі ромба як d1 і d2.

За теоремою Піфагора для прямокутного трикутника, утвореного діагоналями ромба і висотою, маємо:

(d1/2)^2 + (d2/2)^2 = h^2

Також маємо рівності:

d1 = 2acos(45°) = 20sqrt(2)

d2 = 2hsin(45°) = hsqrt(2)

Оскільки діагоналі діляться пополам, то:

d1/2 = 10*sqrt(2)

d2/2 = h*sqrt(2)/2

Тоді рівняння Піфагора має вигляд:

(10sqrt(2))^2 + (hsqrt(2)/2)^2 = h^2

200 + h^2/4 = h^2

h^2/4 = 200

h^2 = 800

h = 20*sqrt(2)

Отже, висота паралелограма дорівнює 20*sqrt(2) одиниць.

Answer 2

Щоб розв'язати цю задачу, спочатку знайдемо сторону паралелограма.

Периметр паралелограма складається з двох паралельних сторін, тому кожна сторона паралелограма буде дорівнювати половині периметра. Згідно з умовою, периметр дорівнює 80, отже, кожна сторона дорівнюватиме 80/2 = 40.

Діагональ ділить паралелограм на два трикутники. У трикутнику один гострий кут дорівнює 45°, а другий гострий кут відноситься до першого у відношенні 1:2. Це означає, що другий гострий кут буде 45° * 2 = 90°.

Таким чином, ми маємо прямокутний трикутник з відомими кутами 45° і 90°, а також відомою стороною 40 (половина периметра).

За теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи. У нашому випадку одним катетом є висота паралелограма, а іншим катетом є половина периметра. Позначимо висоту як "h".

Таким чином, ми маємо рівняння: h^2 + (40)^2 = гіпотенуза^2

Тепер знайдемо гіпотенузу, використовуючи співвідношення між діагоналлю і стороною паралелограма відповідно 1:2. Позначимо діагональ як "d" і відстань від точки перетину діагоналей до однієї з вершин паралелограма як "x".

Згідно з умовою, x/d = 1/2. Тому x = (1/2) * d.

Так як діагональ ділить тупий кут, то x є відстанню від точки перетину діагоналей до ближньої до неї вершини паралелограма. Отже, гіпотенуза дорівнюватиме 2x.

Гіпотенуза =