Question

Бісектриса зовнішнього кута при вершині C трикутника ABC перетинає описане коло в точці D. Доведіть, що AD = BD.​

Answer 1

Ответ:

Для доведення того, що AD = BD, ми можемо використати теорему про кут біля центру та його подвійний дугу.

Оскільки точка D лежить на описаному колі трикутника ABC, то кут ADC дорівнює півсумі відповідних дуг, що охоплюють даний кут. З іншого боку, кут BDC дорівнює півсумі інших відповідних дуг, що охоплюють його.

З огляду на те, що точка D лежить на бісектрисі зовнішнього кута при вершині C, кути ADC та BDC є півкутами зовнішнього кута. Тому ми можемо записати:

ADC = 1/2 * (AB + AC - BC)

BDC = 1/2 * (AB + BC - AC)

Звідси ми можемо отримати:

ADC - BDC = 1/2 × (AB + AC - BC) - 1/2 × (AB + BC - AC) = 1/2 × (AC - BC) = CD

Отже, ми бачимо, що різниця між кутами ADC та BDC дорівнює дуги CD, яка є відстанню між точкою D та прямою AB.

Оскільки відрізок CD є висотою трикутника ABD, ми можемо записати:

AD² - CD² = AB² - BD² - CD² = AD² - BD²

Звідси ми отримуємо, що AD^2 - BD^2 = 0, тобто AD = BD. Отже, ми довели, що AD = BD.

Объяснение:

Answer 2

Щоб довести, що AD = BD, ми скористаємося тим, що бісектриса зовнішнього кута трикутника ділить протилежний дугу на два рівні частини.

Зауважте, що точка D є точкою перетину бісектриси з описаним колом, тому вона лежить на описаному колі трикутника ABC.

Оскільки точка D лежить на описаному колі, ми можемо розглянути протилежний дугу BC. Тоді кут ADC дорівнює половині протилежного дуги BC.

Аналогічно, ми можемо розглянути протилежний дугу AC. Тоді кут BDC дорівнює половині протилежного дуги AC.

Оскільки бісектриса зовнішнього кута ділить протилежний дугу на дві рівні частини, кути ADC і BDC мають однакову міру. Таким чином, трикутники ADC і BDC є рівнобедреними трикутниками.

У рівнобедреному трикутнику дві сторони, що виходять з вершини, є рівними. Тому AD = BD.

Таким чином, ми довели, що AD = BD, використовуючи властивості бісектриси зовнішнього кута трикутника та рівнобедреного трикутника.