Question

В равнобедренный треугольник ABC (AB=BC) вписана окружность. Через точку M, лежащую на стороне AB, проведена касательная к окружности, пересекающая прямую AC в точке N. Найти боковую сторону треугольника ABC, если AC=CN=a, MB=1/8AB.

Answer 1

Продолжим сторону  $BC$ в два раза , тогда получим параллелограмм $ABNC'$  точка $CC'=b$ ,  заметим теперь что треугольники  $MBO; C'ON$ $O$  точка пересечения $NM$ с $BC$ 
Откуда $BO=\frac{OC}{8}\\ MO=\frac{ON}{8}$ 
Так как касательные проведенные с одной точки равны , то так как $AC$ основание данного треугольника , то  точка касания окружности основанием симметрична , то есть $\frac{a}{2}$ 
Если $AF$  $F$  точка касания с  окружностью , стороны  $AB$   $AF=\frac{a}{2}$
$AB=b\\ AM=b-\frac{b}{8}=\frac{7b}{8}\\ FM=\frac{7b}{8}-\frac{a}{2}=\frac{7b-4a}{8}$
Если $E$   - точка пересечения $MN$ с окружностью   
$ME=FM=\frac{7b-4a}{8}$ 
$NE=a+\frac{a}{2}=\frac{3a}{2}$ ,  по той же причине 
$OE=MO-ME=MO-\frac{7b-4a}{8}$ 
с другой стороны
$OE=\frac{3a}{2}-ON\\ MO-\frac{7b-4a}{8}=\frac{3a}{2}-ON\\ MO=\frac{ON}{8}\\ \\ MN=\frac{7b+8a}{8}$
Теперь заметим что окружность вписана   в треугольники 
$AMN;ABC$ 
Положим что угол $BAC=x$
$S_{AMN}=\frac{7b*a*sinx *\frac{1}{8}}{\frac{7b+8a}{16}+\frac{7b}{16}+a} \\ S_{ABC}=\frac{ab*sinx*0.5}{2b+a}$
По формуле $r=\frac{S}{p}$ 
подставляя получим 
$ab(7b-5a)=0\\ b=\frac{5a}{7}$  
это ответ  $\frac{5a}{7}$