Question

100 балів! Будь ласка, розгорнуте рішення! Знайдіть кут А трикутника АВС ,якщо А(2;1;3),В(7;4;5),С(4;2;1)​

Answer 1

Ответ:

∠A ≈ 60.88°

Дано:

A(2;1;3),

B(7;4;5),

C(4;2;1).

-------------------------

Найти:

∠A - ?

--------------------------

Решение:

• В пространстве задан треугольник, координаты которого мы знаем. Для начала определим длины его сторон.
• Расстояние между произвольными координатами K и L (вектор KL) можно вычислить по формуле:

$KL=\sqrt{(K_x-L_x)^2+(K_y-L_y)^2+(K_z-L_z)^2}$

• Поочередно вычислим длины нашего треугольника AB, BC, AC:

$AB=\sqrt{(2-7)^2+(1-4)^2+(3-5)^2}=\sqrt{38}\\BC=\sqrt{(7-4)^2+(4-2)^2+(5-1)^2}=\sqrt{29}\\AC=\sqrt{(2-4)^2+(1-2)^2+(3-1)^2}= 3$

• Теперь вспомним из курса планиметрии кое-какую формулу, а именно теорему косинусов. Я прикрепил ее в качестве фото. Нам нужно выразить косинус из формулы, чтобы найти угол. Угол A лежит напротив стороны BC, значит наша формула приобретает вид:

$></p> <p><strong>∠A = arccos((3√38) / 38) ≈ 60.88°</strong></p> <p></p> <p></p> </div> <div style=$

Answer 2

Для знаходження кута А трикутника АВС потрібно використовувати формулу косинусів. Ця формула стверджує, що косинус кута між двома векторами можна обчислити як добуток скалярний цих векторів, поділений на добуток їхніх довжин.

Крок 1: Знайдемо вектори АВ і АС. Вектор АВ можна отримати шляхом віднімання координат точки А від координат точки В: Вектор АВ = В - А = (7; 4; 5) - (2; 1; 3) = (5; 3; 2).

Вектор АС можна отримати шляхом віднімання координат точки А від координат точки С: Вектор АС = С - А = (4; 2; 1) - (2; 1; 3) = (2; 1; -2).

Крок 2: Обчислимо скалярний добуток векторів АВ і АС. Скалярний добуток векторів АВ і АС обчислюється як сума добутків відповідних координат: АВ • АС = (5 * 2) + (3 * 1) + (2 * -2) = 10 + 3 - 4 = 9.

Крок 3: Обчислимо довжини векторів АВ і АС. Довжина вектора обчислюється за формулою: ||Вектор|| = sqrt(x^2 + y^2 + z^2), де x, y, z - координати вектора. Довжина вектора АВ: ||АВ|| = sqrt(5^2 + 3^2 + 2^2) = sqrt(25 + 9 + 4) = sqrt(38).

Довжина вектора АС: ||АС|| = sqrt(2^2 + 1^2 + (-2)^2) = sqrt(4 + 1 + 4) = sqrt(9) = 3.

Крок 4: Обчислимо косинус кута А за формулою косинусів: cos(A) = (АВ • АС) / (||АВ|| * ||АС||).

Підставимо значення: cos(A) = 9 / (sqrt(38) * 3).

Крок 5: Знайдемо значення кута А, використовуючи обернену функцію косинуса (arccos): A = arccos(cos(A)).

Підставимо значення: A = arcc