Question

Помогите с геометрией пожалуйста: Две стороны остроугольного треугольника равны 9 и 12, а медианы этих сторон перпендикулярны. Найти 3-ю сторону

Answer 1

Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Пусть неизвестная сторона z, медиана к 12 - 3y, к 9 - 3x.
Медианы делят стороны пополам, на 6 и 4,5. Начертим и получим, что 6 - гипотенуза в треугольнике с катетами 2x и y, а 4,5 - гипотенуза в треугольнике с катетами x и 2y. Наша неизвестная сторона z - гипотенуза в треугольнике с катетами 2x и 2y.
$(2x)^2+y^2=36\\y^2=4(9-x^2)\\\\ x^2+(2y)^2=(\frac{9}{2})^2\\x^2+4\cdot4(9-x^2)=\frac{81}{4}\\-15x^2=81/4-144=-495/4\\x^2=33/4 \\y^2=4(9-x^2)=3\\z^2=(2x)^2+(2y)^2=4(x^2+y^2)=45\\z=3\sqrt{5}$