Question

Нехай точки М і N - відповідно середини діагоналей АС і ВD чотирикутника АВСD . Доведіть , що вектор МN =*дробь* 1/2 (АВ-DC) CРОЧНО ПЖ!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 1

Для доведення рівності MN = 1/2 (AB - DC) використаємо властивості серединних перпендикулярних відрізків у чотирикутнику.

1. За означенням, точка М є серединою діагоналі AC. Отже, вектор МА = 1/2 (ВА + СА).
2. Аналогічно, точка N є серединою діагоналі BD. Тому вектор NB = 1/2 (BD + ND).
3. Діагоналі AC і BD перетинаються в точці P. Тоді вектор PA = -PC, оскільки вектор AC = -CD (зі зворотнім знаком).
4. Замінимо вектори СА та BD з виразів вище у виразі для вектора МА: МА = 1/2 (ВА - СD).
5. Замінимо вектори BD та ND з виразів вище у виразі для вектора NB: NB = 1/2 (ВА - СD + ND).
6. Замінимо вектор PA на -PC у виразі для вектора NB: NB = 1/2 (ВА - СD - PC).
7. За властивостями векторів можна перенести знак мінус усередину дужки: NB = 1/2 (ВА - СD + PC).
8. Розкриваємо дужки: NB = 1/2 (ВА - СD) + 1/2 PC.
9. За означенням, вектор MN = NB + MA. Підставляємо значення NB і MA: MN = 1/2 (ВА - СD) + 1/2 PC + 1/2 (ВА - СD).
10. Об'єднуємо однакові доданки: MN = 1/2 (2 ВА - 2 CD) + 1/2 PC.
11. Спрощуємо: MN = ВА - CD + 1/2 PC.
12. За означенням вектора PA = -PC, отримуємо: MN = ВА - CD + 1/2 (-PA).
13. Враховуючи, що 1/2 * (-PA) = -1/2 PA, отримуємо: MN = ВА - CD - 1/2 PA.
14. Враховуючи, що AB = -BA, отримуємо: MN = 1/2 (AB - CD).
15. Отже, доведена рівність MN = 1/2 (AB - DC).

Таким чином, д