Question

Прямая, проходящая через центр прямоугольника, перпендикупярна одной из его диагоналей и пересекает его большую сторону под углом 60° Отрезок этой прямой, заключённый внутри прямоугольника, равен a . Найдите периметр прямоугольника.​

Answer 1

Центр прямоугольника - точка пересечения диагоналей.

Диагонали прямоугольника точкой пересечения (O) делятся пополам.

EF проходит через середину BD, EF⊥BD, ∠BEF=60°

∠BEO=∠DFO (накрест лежащие)

△BEO=△DFO (по катету и острому углу) => OE=OF, BE=FD

△BEO=△BFO (по двум катетам) => BE=BF

△FBE - р/б с углом 60 => равносторонний

BE=BF=EF=FD=a

∠FBE=60° => ∠ABF=90-60=30°

BF=a, AF=a/2 (катет против угла 30), AB=√3/2 a (т Пифагора)

P =2(AB+AF+FD) =2(√3/2 a +a/2 +a) =a(3+√3)

Answer 2

Пусть прямоугольник имеет ширину b и длину d.

Так как прямая проходит через центр прямоугольника и перпендикулярна одной из его диагоналей, она также делит прямоугольник на два равных треугольника. Длина отрезка, заключенного внутри прямоугольника, равна a, поэтому эта длина также является половиной длины диагонали прямоугольника.

Известно, что угол между прямой и большой стороной прямоугольника составляет 60°. Обозначим половину длины диагонали как x.

Тогда, используя тригонометрию, можем записать: x = a / cos(60°) = a / 0.5 = 2a.

Полная длина диагонали равна 2x, то есть 4a.

С учетом этого мы можем найти длину стороны прямоугольника, используя теорему Пифагора: d^2 + b^2 = (4a)^2 = 16a^2.

Также, так как прямая проходит через центр прямоугольника, она делит его на две равные половины. Значит, длина прямоугольника равна двум отрезкам a.

Таким образом, периметр прямоугольника равен: P = 2(b + d) = 2(2a + 4a) = 2(6a) = 12a.

Итак, периметр прямоугольника равен 12a.