Question

В треугольнике АВС В1-середина АС, точка А1 лежит на стороне ВС так, что ВА1 : А1С = 1 : 2. Используя векторы, докажите, что середина ВВ1 лежит на прямой АА1

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Изменю некоторые буквы условия. Написание индексов напрягает здесь.

В треугольнике ABC точка E-середина АС, точка F лежит на стороне BC так, что BF : FC = 1 : 2. Используя векторы, докажите, что середина BE лежит на прямой AF.

Достроим среднюю линию EP||BC

EP∩AF=O; BE∩AF=H.

Докажем, что BH=HE

PE||BC⇒ΔAPO~ΔABF, ΔAOE~AFC, ΔAPE~ΔABC с одним и тем же коэффициентом подобия k=0,5

Тогда

PO=0,5BF=0,5(0,5FC)=0,5OE⇒PO=0,5OE

Рассмотрим ΔABE

EP-медиана, OE=2PO⇒AH-медиана.

ч.т.д.

Answer 2

Ответ:

////////////////

Объяснение:

поместим точку А в начало прямоугольной системы координат, а точку С - на оси Х

примем направления векторов, как показано на рисунке 1

докажем, что вектор АО→ коллинеарен вектору АА₁→, а поскольку они имеют общую точку А, то и точка О (середина вектора ВВ₁→) лежит на прямой АА₁

Answer 3

Для доказательства этого факта, воспользуемся свойствами векторов. Обозначим векторы следующим образом:

AB - вектор, соответствующий стороне AB AC - вектор, соответствующий стороне AC AA1 - вектор, соответствующий отрезку AA1 AV - вектор, соответствующий стороне AV A1C - вектор, соответствующий стороне A1C A1V - вектор, соответствующий стороне A1V VB - вектор, соответствующий стороне VB V1B - вектор, соответствующий стороне V1B

Из условия задачи, известно, что VA1 : A1C = 1 : 2. Мы можем представить вектор A1C как сумму векторов A1V и VC:

A1C = A1V + VC

Также известно, что В1 является серединой отрезка AC. Следовательно, можно записать:

AV = V1C

По свойству серединного перпендикуляра, вектор VB будет равен половине вектора AB:

VB = 0.5 * AB

Теперь докажем, что середина ВВ1 лежит на прямой АА1. Для этого проверим, равенство векторов:

VV1 = VB + BV1

Заметим, что вектор BV1 можно представить как сумму векторов BC и CV1:

BV1 = BC + CV1

Также мы можем выразить вектор BC через вектор AC:

BC = 0.5 * AC

Вектор CV1 можно представить как сумму векторов VC и V1C:

CV1 = VC + V1C

Заменим значения в уравнении для BV1:

BV1 = BC + CV1 = 0.5 * AC + VC + V1C

Теперь заменим значения в уравнении для VV1:

VV1 = VB + BV1 = 0.5 * AB + 0.5 * AC + VC + V1C

Мы можем выразить вектор AB через векторы AV и VB:

AB = AV - VB

Подставим это значение в предыдущее уравнение:

VV1 = 0.5 * (AV - VB) + 0.5 * AC + VC + V1C

Раскроем скобки:

VV1 = 0.5 * AV - 0.5 * VB + 0.5 * AC + VC + V1C

Так как мы уже установили, что AV = V1C и VB = 0.5 * AB, мы можем заменить эти значения:

VV1 = 0.5 * V1C - 0.5 * 0.5 * AB + 0.5 * AC