Question

Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, AC=12, BD=20, AB=7. Найдите DO.

Answer 1

Ответ:

10 (см).

Объяснение:

Дано:

ABCD - параллелограмм.

AC и BD - диагонали параллелограмма.

AC ∩ BD = O.

AC = 12 (см); BD = 20 (см); AB = 7 (см).

Найти:

DO - ? (см).

Решение:

Тут всё довольно просто. Так как ABCD - параллелограмм, вспомним свойство такой геометрической фигуры: диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Т.е. диагонали AC и BD делятся точкой пересечения O пополам. Соответственно DO будет равняться половине всей диагонали BD. (и из этого следует, что DO = OB)

DO = BD/2 = 20 : 2 = 10 (см)

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойством параллелограмма, согласно которому диагонали параллелограмма делятся пополам.

Пусть точка M является серединой диагонали AC. Тогда AM = MC = AC/2 = 12/2 = 6.

Также, поскольку AM и BM являются медианами треугольника AOB, где O - точка пересечения диагоналей, то AM = BM = AB/2 = 7/2 = 3.5.

Теперь рассмотрим треугольник BOD. Известно, что BD = 20. Отношение, в котором диагональ параллелограмма делит другую диагональ, также является отношением, в котором она делит боковую сторону треугольника.

Таким образом, OD/OB = DM/BM = (BD - DM)/DM, где DM - неизвестная сторона треугольника BOD, которую мы и хотим найти.

Подставим известные значения: OD/OB = (20 - DM)/DM.

Так как OB = AB - AO = AB - MO = 7 - 3.5 = 3.5, то OD/3.5 = (20 - DM)/DM.

Перекрестно умножим: OD * DM = 3.5 * (20 - DM).

Раскроем скобки: OD * DM = 70 - 3.5 * DM.

Перенесем все члены с DM в одну сторону: OD * DM + 3.5 * DM = 70.

Факторизуем DM: DM * (OD + 3.5) = 70.

Теперь можем найти DM: DM = 70 / (OD + 3.5).

Известно, что AC и BD пересекаются в точке O, следовательно, сумма OD и 3.5 должна быть равна длине диагонали AC, то есть 12.

Таким образом, OD + 3.5 = 12.

Выразим OD: OD = 12 - 3.5 = 8.5.

Теперь найдем DM: DM = 70 / (8.5 + 3.5) = 70 / 12 = 5.833.

Таким образом, DO ≈ 5.833.