Question

Пожалуйста помогите! Если диагонали параллелограмма: а)взаимно перпендикулярны; б)являются биссектрисами его углов, то он является ромбом. Докажите

Answer 1

Параллелограмм АВСД, АВ=СД, АД=ВС, точка О пересечение диагоналей, которые в точке пересечения делятся пополам (свойства параллелограмма), треугольники АОД и СОД прямоугольные (по условию) и равны, АО=ОС, ОД - общий катет (по двум катетам), значит АД=ДС=АВ=ВС, АВСД - ромб, параллелограмм у которого все стороны равны
АС, ВД - биссектрисы, уголСАД=уголАСВ как внутренние разнгосторонние=углу АСД, треугольник АСД равнобедренный, АД=СД=АВ=ВС,

Answer 2

Давайте докажем оба утверждения:

а) Предположим, что в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны. Рассмотрим два треугольника, образованных диагоналями и одной из сторон параллелограмма.

Пусть ABCD - параллелограмм, где AC и BD - диагонали. Рассмотрим треугольник ABD. Поскольку AC и BD взаимно перпендикулярны, то угол ABD является прямым углом.

Теперь рассмотрим треугольник BCD. Поскольку AC и BD взаимно перпендикулярны, то угол BCD также является прямым углом.

Таким образом, у нас есть два прямых угла в параллелограмме. Так как сумма углов в параллелограмме равна 360 градусам, а углы ABD и BCD в сумме дают 180 градусов (поскольку они являются прямыми), остающиеся два угла, ADB и BAC, также должны быть равными 180 градусам.

Таким образом, каждый угол параллелограмма равен 90 градусам, что делает его ромбом.

б) Предположим, что в параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов. Рассмотрим два треугольника, образованных диагоналями и одной из сторон параллелограмма.

Пусть ABCD - параллелограмм, где AC и BD - диагонали. Рассмотрим треугольник ABD. Поскольку AC является биссектрисой угла DAB, то угол DAB делится на два равных угла, углы DAB и BAD.

Теперь рассмотрим треугольник BCD. Поскольку BD является биссектрисой угла CDB, то угол CDB делится на два равных угла, углы CDB и CBD.

Таким образом, мы имеем два треугольника с равными углами DAB и CDB, и у них также равны стороны AD и BC, поскольку они являются сторонами параллелограмма.

Из равенства сторон и равенства углов следует, что треугольники ABD и BCD равны (по признаку SSA). Это означает, что сторо