Question

Через середину гипотенузы прямоугольного треугольника проведены прямые, параллельны его катетам.    а) Определите вид образовавшегося 4-хугольника.    б) Найдите периметр этого четырёхугольника, если катеты треугольника равны 6 см и 8см.

Answer 1

1. вид - прямоугольник, т.к. его стороны параллельны, один из углов (принадлежащий треугольнику) прямой, следовательно все углы прямые.

2. обозначим середину гипотенуз точкой О,отрезок, параллельный катету СВ, - ОД, параллельный катету АС - ОЕ.

ОВ=ОА=10/2= 5 см

два треугольника - ОВЕ и АВС - подобные по основной теореме о подобных треугольниках (параллельные прямые, пересекающие стороны угла, образуют с его сторонами подобные между собой треугольники)

из подобия следует, что соответствующие стороны треугольников пропорциональны:

АВ / ОВ = АС / ОЕ.

10 / 5 = 6 / ОЕ

ОЕ = 3 см = СД

АД = АС - СД = 6 - 3 = 3 см

аналогично находим длину другой стороны - ДО треугольника АДО

ДО / СВ = АД / АС

ДО / 8 = 3 / 6

ДО = 4 см

находим периметр прямоугольника СДОЕ = (4 + 3) * 2 =14 см

 

 

конечно, через средние линии сразу легче найти длины сторон прямоугольника, но кто вас знает, что вы уже проходили, а что нет)

Answer 2

а) Образовавшийся четырёхугольник - это параллелограмм.

б) Пусть точка, в которой проходит прямая через середину гипотенузы, делит её на отрезки $AE$ и $EC$ (см. рисунок). Тогда $AE = EC = \frac{1}{2} \cdot AC = 5$ см.

[asy]
pair A, B, C, D, E;
A = (0,0);
B =(6,0);
C = (0,8);
D = (A+C)/2;
E = (B+C)/2;
draw(A--B--C--A);
draw(D--E);
label("$A$", A, SW);
label("$B$", B, SE);
label("$C$", C, N);
label("$D$", D, W);
label("$E$", E, NE);
[/asy]

Так как $ADE$ и $CEB$ - прямоугольные треугольники, то $DE = EB = \frac{1}{2} \cdot CB = 4$ см, $AD = AE - DE = 1$ см.

Значит, периметр параллелограмма равен $2 \cdot (AE + EB) = 2 \cdot (5 + 4) = 18$ см.