Question

ОЧЕНЬ СРОЧНО!В треугольнике ABC проведена биссектриса BD. Найдите периметр треугольника BDC, если AB/AD=1/2, DC=4, BD=3.

Answer 1

Ответ:

15

Объяснение:

Свойство биссектрисы треугольника:

биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

dfrac{AB}{AC}=dfrac{BD}{DC}ACAB=DCBD

AB=dfrac{ACcdot BD}{DC}AB=DCAC⋅BD

AB=dfrac{4cdot3}{2}=2cdot 3=6AB=24⋅3=2⋅3=6

BC = BD+DC=3+2=5BC=BD+DC=3+2=5

P_{ABC}=AB+BC+AC=6+5+4=15PABC=AB+BC+AC=6+5+4=15

Answer 2

Рассмотрим треугольник ABD. Из условия AB/AD=1/2 следует, что AB=2AD. По свойству биссектрисы можно найти и BD. Обозначим AC=x. Тогда, по теореме синусов в треугольнике ABD:

BD/sin(BAD) = AD/sin(ABD)
3/sin(BAD) = AD/sin(ABD)
3/sin(BAD) = AD/sin(2BAD)
3/sin(BAD) = AD/2sin(BAD)cos(BAD)
6sin(BAD) = ADcos(BAD)

Аналогично, по теореме синусов в треугольнике ABC:

AC/sin(CAB) = AB/sin(ABC)
x/sin(CAB) = 2AD/sin(BCD)

Также, по теореме синусов в треугольнике BCD:

BD/sin(CBD) = CD/sin(BCD)

Подставляем BD=3 и CD=4:

3/sin(CBD) = 4/sin(BCD)

Из двух последних уравнений получаем:

x/sin(CAB) = (3/sin(CBD))sin(BAD)

Подставляем выражение для ADcos(BAD), полученное ранее:

x/sin(CAB) = (3/sin(CBD))sin(BAD) = (6cos(BAD))/sin(CAB)

x = 6cos(BAD)/sin(CAB)sin(BAD)

Теперь можем найти периметр треугольника BDC:

BD+DC+BC = 3+4+2x/sin(CAB) = 7+12cos(BAD)/sin(CAB)sin(BAD)

Осталось найти cos(BAD) и sin(CAB)sin(BAD). Рассмотрим треугольник ABC. Из условия AB/AD=1/2 следует, что AC/AD=3/2. По теореме косинусов:

cos(BAD) = (AB^2+AD^2-BD^2)/(2AB*AD) = 11/12

Также, по теореме косинусов в треугольнике ABC:

cos(CAB) = (AC^2+AB^2-BC^2)/(2AC*AB) = (4x^2-BC^2)/(4x^2)

Из свойства биссектрисы следует, что AD/BD=AC/BC, то есть AC/BC=2. Поэтому:

4x^2-BC^2 = 3BC^2
BC^2 = 4x^2/3

cos(CAB) = (4x^2-BC^2)/(2AC*AB) = (4x^2-4x^2/3)/(2x*(2x/3)) = 1/2

Итого,

cos(BAD) = 11/12
sin(CAB)sin(BAD) = √((1-cos^2(CAB))(1-cos^2(BAD))) = √(23/288)
Подставляем в формулу для периметра:

BD+DC+BC = 7+12cos(BAD)/sin(CAB)sin(BAD) = 7+24√(23/11) ≈ 33.88

Ответ: 33.88.