Question

Дан равнобедренный треугольник АВС. Известно, что вершины его основания имеют координаты А ( 1;1)  и B ( 9;1) , а длина высоты, проведенной из вершины С, составляет 30% от длины основания АВ. А) Найдите координаты точки С. Б) Найдите координаты точки пересечения прямой АС с осью ординат.

Answer 1

Ответ:

Координаты точки С - (5; 3.4)

Координата точки пересечения - ( 0; 0.4)

Объяснение:

Основание АВ = 9-1  = 8

30% от 8 = 2.4

Следовательно вершина С находится на высоте 1 + 2.4 = 3.4, и на ширине 1 + 8/2 = 5 ( тк треугольник равнобедренный, то его вершина находится на равном расстоянии от А и В)

Координаты точки С - (5; 3.4)

Тк АС - прямая линия, имеем систему:

1) x1 * k + b = y1

2) x2 * k + b = y2

где х1 = 5,  х2 = 1, y1 = 3.4, y2 = 1 Подставляем и решаем:

1) 5k + b = 3.4

2) k + b = 1

b = 1 - k

5k + 1 - k = 3.4

4k = 2.4

k = 0.6

b = 0.4

Следовательно функция линии АС выглядит так:

y = 0.6x + 0.4

При пересечении с осью ординат x = 0 по определению. Решаем:

y = 0.6*0 + 0.4

y = 0.4

Координата точки - ( 0; 0.4)

Answer 2

Пусть точка С имеет координаты (х, у). Так как треугольник АВС равнобедренный, то точка С лежит на середине отрезка АВ, который имеет координаты (5,1).

Кроме того, мы знаем, что длина высоты, проведенной из точки С, составляет 30% от длины основания, то есть:

CS = 0.3 * AB = 0.3 * (9-1) = 2.4

Используем теорему Пифагора для нахождения координат точки С:

(x-5)^2 + y^2 = CS^2
(x-5)^2 + y^2 = 2.4^2

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

x^2 - 10x + 25 + y^2 = 5.76
x^2 + y^2 - 10x = -19.24

Теперь найдем координаты точки пересечения прямой АС с осью ординат. Уравнение прямой АС имеет вид:

y - 1 = (yC - 1)/(xC - 1) * (x - 1)

Подставляем координаты точки С:

y - 1 = (у - 1)/(х - 1) * (x - 1)

Так как точка А имеет координаты (1,1), уравнение прямой АС также можно записать в виде:

y - 1 = (у - 1)/(х - 1) * (х - 1)

Упрощаем:

y - 1 = у - 1
y = у

То есть точка пересечения прямой АС с осью ординат имеет координаты (0, у).

Осталось найти значение у. Подставляем уравнение прямой АС в уравнение высоты треугольника СН:

(x - 5)^2 + y^2 = 2.4^2

Подставляем x = 1 (координата точки А):

(1 - 5)^2 + y^2 = 2.4^2

y^2 = 2.4^2 - 16

y^2 = 0.56

y = ± 0.75

Так как треугольник АВС лежит в первом квадранте, то y > 0. Поэтому координаты точки пересечения прямой АС с осью ординат равны (0, 0.75).

Итак, ответ:
А) координаты точки С равны (3.5, 1.8)
Б) координаты точки пересечения прямой АС с осью ординат равны (0, 0.75).