Question

Дан треугольник ABC, на стороне AC которого взята точка D такая, что AD=4 см, а DC=20 см. Отрезок DB делит треугольник ABC на два треугольника. При этом площадь треугольника ABC составляет 192 см2. Найди площадь большего из образовавшихся треугольников, ответ дай в квадратных сантиметрах.

Answer 1

Ответ: 160см²

Объяснение: площадь треугольника определяется по формуле: S=1/2ah, где: а-длина основания; h-высота треугольника. Длина основания будет равна: 20+4=24см. Найдем высоту треугольника АВС:

h=2S/a=2*192/24=16см. Высота треугольника АВС будет равно одновременно и высоте треугольника ВDC. Тогда площадь треугольника ВDC равна: S=20*16/2=160cм²

Answer 2

Обозначим через $S_1$ и $S_2$ площади треугольников, образованных отрезком $DB$. Известно, что $AD = 4$ см, $DC = 20$ см и $S_{ABC} = 192$ см$^2$.

Рассмотрим подобие треугольников $\triangle ADB$ и $\triangle ACB$, общим углом у которых является $\angle ABC$. Тогда

$$\frac{DB}{BC} = \frac{AD}{AC} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}.$$

Отсюда $DB = \frac{1}{6} BC$.

Рассмотрим площади треугольников $ABC$ и $ABD$. Известно, что

$$S_{ABC} = S_{ABD} + S_{CBD}.$$

Подставляя соответствующие выражения, получаем

$$192 = S_{ABD} + \frac{1}{2} DC \cdot \frac{1}{6} BC = S_{ABD} + \frac{10}{3}S_{ABD} = \frac{13}{3}S_{ABD}.$$

Отсюда $S_{ABD} = \frac{192 \cdot 3}{13} = \frac{576}{13}$ см$^2$.

Так как треугольники $ABD$ и $CBD$ имеют общую высоту, то их площади будут пропорциональны длинам соответствующих сторон:

$$\frac{S_1}{S_2} = \frac{DB}{BC} = \frac{1}{6}.$$

Значит, $S_2 = \frac{6}{7} \cdot S_1$ и

$$S_1 + S_2 = S_{ABC} = 192.$$

Подставляя значения $S_1$ и $S_2$, получаем

$$S_1 + \frac{6}{7} S_1 = 192,$$

откуда $S_1 = \frac{672}{13}$ см$^2$. Таким образом, площадь большего треугольника $CBD$ равна

$$S_2 = \frac{6}{7} S_1 = \frac{4032}{91} \approx 44,3 \text{ см}^2.$$

Ответ: $\boxed{\frac{4032}{91} \text{ см}^2}$.