Question

Длина линии пересечения сферы и плоскости,проходящей через конец  диаметра под углом 60 градусов к нему, равна 5пи .Найдите диаметр           СРОЧНО

Answer 1

Длина "линии пересечения сферы и плоскости..." --- это длина окружности, которая получится в сечении...
диаметр окружности-сечения будет хордой в осевом сечении сферы...
радиус сферы, проведенный к середине этой хорды образует прямоугольный треугольник, из которого очевидно, что
R = 2*r (как катет, лежащий против угла в 30 градусов)))
D = 2*R = 4*r = 4*5/2 = 10
длина окружности C = 2*pi*r = 5*pi

Answer 2

Обозначим длину диаметра через $d$. Тогда расстояние от центра сферы до этой плоскости равно $d\cos(60^\circ) = d/2$. Рисуем сечение сферы плоскостью и обозначаем полученный окружность на сечении $O$. Тогда по условию задачи длина пересечения сферы и плоскости равна длине дуги, заключенной между точками пересечения плоскости с окружностью $O$. Эта длина равна $5\pi$, то есть ее можно записать как $R\alpha$, где $R$ - радиус сферы, а $\alpha$ - угол дуги в радианах.

Заметим, что $2R$ - это диаметр сферы, равный $d$. Тогда $R=d/2$. Также заметим, что $\alpha$ - это угол между радиусом сферы и хордой на сечении, соединяющей точки пересечения сферы и плоскости с окружностью $O$. Чтобы найти этот угол, нарисуем радиус сферы, проведем касательную к сфере из предыдущего шага в точке $A$ пересечения с плоскостью и соединим точки $A$ и $B$, где $B$ - точка пересечения хорды с окружностью $O$. Тогда треугольник $OAB$ является равносторонним треугольником, и угол $\alpha$ равен $60^\circ$. Таким образом, мы нашли значение $R$ и $\alpha$ и можем найти $d$:

$$d = 2R = 2 \cdot \frac{5\pi}{\alpha} = 2 \cdot \frac{5\pi}{\pi/3} = 30.$$

Ответ: $d=30$.