Question

В конус вписана правильная четырехугольная пирамида.Сторона основания пирамиды равна 3 корня из 2 см. Боковое ребро пирамиды наклонено к основанию пирамиды под углом 45 градусов. Найдите объем конуса.

Answer 1

ЕАВСД - пирамида, ЕО - высота.
Диагональ основания (квадрата): АС=АВ√2=3√2·√2=6 см.
АО=АС/2=3 см.
В тр-ке ЕАО ∠ЕАО=∠АЕО=45°, значит он равнобедренный, в нём ЕО=АО=h.
Радиус основания конуса равен половине диаметра квадрата основания. R=АО.
Объём конуса: V=Sh/3=πR²h/3=π·9·3/3=9π cм³ - это ответ.

Answer 2

Пусть ребро пирамиды равно $a$. Тогда мы можем разбить пирамиду на четыре одинаковых тетраэдра, каждый из которых имеет высоту, равную $a$, и основание в форме равностороннего треугольника со стороной $3\sqrt{2}$.

Рассмотрим один такой тетраэдр. Мы можем разбить его на две пирамидки, каждая из которых имеет основание в форме равностороннего треугольника со стороной $3\sqrt{2}$ и высоту, равную $\frac{a}{2}$. Таким образом, объем одного тетраэдра равен:

$$V_{tetra} = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (3\sqrt{2})^2 \cdot \frac{a}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{4} a^3$$

Общий объем пирамиды равен $4V_{tetra} = 9\sqrt{3}a^3$.

Теперь заметим, что каждое боковое ребро пирамиды является диагональю боковой грани, которая является прямоугольным треугольником со сторонами $a$, $a$ и $a\sqrt{2}$. Из теоремы Пифагора следует, что $a^2 + a^2 = (a\sqrt{2})^2$, откуда $a = 3$.

Таким образом, объем пирамиды равен $\frac{243\sqrt{3}}{4}$. Однако этот объем не равен объему конуса - пирамида не вписана в полный конус. Чтобы найти объем конуса, необходимо вычесть объем вершинного участка пирамиды.

Высота вершинного участка является радиусом окружности в основании вершины пирамиды, опирающейся на основание конуса. Радиус окружности равен половине стороны основания пирамиды, т.е. $\frac{3\sqrt{2}}{2}$.

Объем вершинного участка пирамиды равен:

$$V_{vertex} = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2 \cdot \frac{a}{2} = \frac{9\sqrt{2}\pi}{8}$$

Таким образом, объем конуса равен:

$$V_{cone} = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 3^2 \cdot 12 - V_{vertex} = 108\pi - \frac{9\sqrt{2}\pi}{8} = \frac{855\pi}{8} - \frac{9\sqrt{2}\pi}{8} = \boxed{\frac{855\pi - 9\sqrt{2}\pi}{8}}$$