Question

через вершины а и в треугольника авс проведена окружность пересекающая стороны вс и ас в точках в и е соответственно.Найдите радиус этой окружности если площадь треугольника cde в 2 раза меньше площади четырехугольника abde ab=15 угол c =30 градусов

Answer 1

∠ABD+∠AED=180° (противоположные углы вписанного четырехугольника)

∠CED=180°-∠AED =∠ABD

△ABC~△DEC (по двум углам)

S(ABC)/S(DEC) =3 <=> AB/DE =√3 (площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия)

∪AB/2 -∪DE/2 =30° (угол между секущими)

По формуле длины хорды

AB= 2R sin(∪AB/2)

DE= 2R sin(∪DE/2)

∪DE/2=x

sin(x+30°)/sinx =√3 <=>

(sinxcos30° +cosxsin30°)/sinx =√3 <=>

√3/2 +ctgx/2 =√3 <=>

ctgx= √3 <=> x=30°

∪DE=60° => ∠DOE=60° => △DOE - равносторонний, DO=DE

r= DE =AB/√3 =15/√3 =5√3  ~8,66

Answer 2

Для начала, найдем высоту треугольника $ABC$ из вершины $C$. Обозначим эту высоту как $h$. Так как $AB = 15$, а угол $C$ равен $30^\circ$, то $h = AB \sin C = 15 \sin 30^\circ = 7.5$.

Заметим, что $AE$ и $AV$ являются биссектрисами угла $A$. Поэтому $\angle EAV = \frac{1}{2} \angle CAB = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$. Также заметим, что треугольник $AEV$ является равнобедренным, так как $AE = AV$. Следовательно, $\angle AVE = \angle EAV = 30^\circ$.

Пусть $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$. Тогда $AO = BO$ и $\angle AOB = 2 \angle ACB = 60^\circ$. Заметим также, что $EO = EV$ и $\angle EOV = \angle EAV = 30^\circ$. Таким образом, мы получили равнобедренный треугольник $AEO$ и равнобедренный треугольник $BOV$.

Пусть $r$ — радиус описанной окружности треугольника $ABC$. Тогда $AO = BO = CO = r$, так как точка $O$ лежит на перпендикуляре к стороне $AB$, проходящем через середину этой стороны. Также заметим, что $AE = AV = r \sin \angle EAV = r \sin 30^\circ = \frac{r}{2}$.

Таким образом, мы получили следующую систему уравнений:

\begin{align*} r &= AO = BO = CO \ r \sin 30^\circ &= AE = AV = \frac{r}{2} \ \end{align*}

Решая эту систему, мы получаем $r = \frac{15}{2\sqrt{3} + 4} \approx 2.37$.

Теперь нам нужно найти площадь четырехугольника $ABDE$. Мы знаем, что $AB = 15$ и $h = 7.5$. Также заметим, что треугольник $AED$ равнобедренный, так как $AE = AD$. Следовательно, $\angle ADE = \angle AED = \frac{1}{2} \angle AEB = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ$. Таким образом, мы можем вычислить площадь треугольника $AED$ как $\frac{1}{2} \cdot AE \cdot DE \cdot \sin 60^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{r