Question

В равнобочную трапецию, верхнее основание которой равно 1, вписали окружность с радиусом 1. Найти площадь трапеции 

Answer 1

трапеция АВСД, АВ=СД, уголА=уголД, ВС=1, проводим высоты ВН и СК на АД, высота трапеции=диаметр вписанной окружности=радиус*2=1*2=2, треугольник АВН=треугольник КСД как прямоугольные по гипотенузе и острому углу, АН=КС=х, НВСК прямоугольник ВС=НК=1, АД=АН+НК+КД=х+1+х=2х+1, в трапецию можно вписать окружность при условии- сумма оснований=сумме боковых сторон, АД+ВС=АВ+СД, 2х+1+1=2АВ, АВ=х+1, треугольник АВН прямоугольный, ВС в квадрате=АВ в квадрате-АН в квадрате , 4=х в квадрате+2х+1-х в квадрате, 2х=3, х=1,5=АН=КД, АД=1,5+1+1,5=4, площадь АВСД=1/2*(ВС+АД)*ВН=1/2*(1+4)*2=5

Answer 2

Высота трапеции равна 2*1 = 2,
Если центр окружности соединить с точками касания и с вершинами трапеции, то получим подобные треугольники.
Верхнее основание точкой касания делится пополам.
На боковых сторонах отрезки 0,5 и х.
Составляем пропорцию:
0,5 / 1 = 1 / х        х = 1 / 0,5 = 2.
Нижнее основание равно 2х = 2*2 = 4.
Отсюда S = 2*((1+4)/2) = 5 кв. ед.

Answer 3

Пусть AB и CD – основания трапеции, причем AB является верхним основанием, а CD – нижним. Пусть также E и F – точки касания вписанной окружности с AB и CD соответственно (см. рисунок).

<img src="https://i.imgur.com/cJ9XGn4.png" width="200">

Так как E и F являются точками касания, то OE и OF являются радиусами вписанной окружности, и по условию задачи радиус вписанной окружности равен 1.

Также известно, что EF – это диаметр вписанной окружности, а значит, оно равно 2.

Из прямоугольного треугольника AOE мы можем найти длину отрезка AO:

$$AO^2 + OE^2 = AE^2 \\ AO^2 + 1^2 = \left(AB - \frac{1}{2}\right)^2 \\ AO^2 + 1 = A^2 - AB + \frac{1}{4} \\ AO^2 + AB = A^2 - \frac{3}{4} \\ AB = A^2 - AO^2 - \frac{3}{4}$$

Аналогично, из прямоугольного треугольника DOF мы можем найти длину отрезка OD:

$$OD^2 + OF^2 = DF^2 \\ OD^2 + 1^2 = \left(1 - \frac{1}{2}\right)^2 \\ OD^2 + 1 = D^2 - DC + \frac{1}{4} \\ OD^2 + DC = D^2 - \frac{3}{4} \\ DC = D^2 - OD^2 - \frac{3}{4}$$

Так как CD параллельно AB, то AB = CD. Поэтому:

$$AB + CD = 2AB \\ A^2 - AO^2 - \frac{3}{4} + D^2 - OD^2 - \frac{3}{4} = 2A^2 - 2AB + 2 \cdot \frac{1}{2}CD \\ -\frac{3}{2} + A^2 - AO^2 + D^2 - OD^2 = A^2 - AB \\ -\frac{3}{2} - AO^2 - OD^2 + D^2 = -AB \\ AB = \frac{3}{2} + AO^2 + OD^2 - D^2$$

Таким образом, мы нашли выражение для длины верхнего основания трапеции через радиус вписанной окружности и расстояния от центра окружности до соответствующих оснований.

Наконец, мы можем вычислить площадь трапеции:

$$S = \frac{(AB+CD)h}{2} = \frac{AB+AB}{2} \cdot EF = AB \cdot EF$$