Question

В равностороннем треугольнике ABC проведены высоты AD и BF, которые пересекаются в точке Q. а) найдите углы треугольника AQF. б) найдите углы треугольника AQB.

Answer 1

ЛОВИ  Треугольник АВС, угол А=угол В=угол С=60, АД и ВФ-биссектрисы=высоты=медианы, треугольник АОФ прямоугольный, угол ОАФ=уголА/2=60/2=30, угол АОФ=90-30=60, угол АFО=90

Answer 2

Для начала, заметим, что в равностороннем треугольнике все углы равны 60 градусов, а все стороны равны между собой.

а) Углы треугольника AQF можно найти, используя теорему косинусов для треугольника AQB. Обозначим длину стороны треугольника ABC (и, следовательно, сторону треугольника AQB) через a. Тогда по теореме Пифагора для треугольника AQB имеем:

$AB^2 = AQ^2 + QB^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$,

откуда $QB = \sqrt{2}a$.

Аналогично, для треугольника AQF имеем:

$AF^2 = AQ^2 + QF^2 = a^2 + \frac{a^2}{4} = \frac{5}{4}a^2$,

откуда $QF = \frac{a\sqrt{5}}{2}$.

Теперь можно найти косинус угла между сторонами AQ и QF, используя теорему косинусов:

$\cos \angle AQF = \frac{AQ^2 + QF^2 - AF^2}{2 \cdot AQ \cdot QF} = \frac{a^2 + \frac{5}{4}a^2 - a^2}{2 \cdot a \cdot \frac{a\sqrt{5}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

Значит, угол AQF равен $60^\circ - \arccos \frac{1}{\sqrt{5}} \approx 16.26^\circ$ (приблизительно).

б) Углы треугольника AQB можно найти, заметив, что угол между сторонами AQ и QB равен углу между сторонами AC и BC, то есть 60 градусов. Таким образом, угол AQB равен $120^\circ$. Также заметим, что угол AQB равен сумме углов AQF и BQF (по теореме углов треугольника). Из этого следует, что углы AQB и BQF равны между собой. Таким образом, углы треугольника AQB равны $120^\circ$, $30^\circ$ и $30^\circ$.