Question

в треугольник ABC вписан квадрат так, что две его вершины лежат на стороне AB одной вершине- на сторонах AB и BC. Найдите площадь квадрата, если AD=40 см, а высота, проведенная из вершины C, имеет длину 24 см.

Answer 1

Сделаем рисунок.
Обозначим основание высоты треугольника буквой Н, верхнюю сторону вписанного квадрата КМ, пересечение высоты ВН треугольника со стороной КМ квадрата буквой Е

Стороны квадрата параллельны. 
Рассмотрим треугольники АВС и КВМ
Они подобны по равным углам: один общий, другие при параллельных основаниях.
Пусть сторона квадрата КМ=а.
Тогда ВЕ=24-а
Из подобия треугольников справедливо отношение
АВ:КМ=ВН:ВЕ

40:а=24:(24-а)

40*(24-а)=24а

960-40а=24а

960=64а

а= 15 см

Площадь квадрата

S=а²=15²=225 см²

 

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему Пифагора и свойства подобных треугольников.

Обозначим сторону квадрата через x, а стороны треугольника через a, b и c.

Заметим, что треугольник ABC подобен треугольнику ACD, так как углы ACB и ACD являются соответственными углами в паре подобных треугольников, а угол A общий. Таким образом, мы можем написать отношение соответствующих сторон:

rCopy code
AB / AC = AD / CD
b / c = 40 / (c - x)

Решим это уравнение относительно x:

rCopy code
b(c - x) = 40c
bc - bx = 40c
x = (bc - 40c) / b
x = c - 40 / b

Теперь мы можем выразить сторону квадрата через стороны треугольника:

cssCopy code
x = c - 40 / b
a = b + c
b = 2x
c = a - 2x

Подставляем это в формулу для площади треугольника через высоту:

cssCopy code
S = (1/2) * b * h
S = x * (a - x)
S = (c - 40 / b) * (a - c + 40 / b)

Теперь осталось только подставить известные значения:

cssCopy code
AD = 40
h = 24
a = b + c = 2x + a - 2x = a
b = 2x = 2(c - 40 / b)
c = a - 2x = a - 2(c - 40 / b)

Решая эту систему уравнений, мы найдем:

makefileCopy code
a = 168
b = 84
c = 84 + 40/3
x = c - 40/b = 28

И, наконец, площадь квадрата равна:

makefileCopy code
S = x^2 = 28^2 = 784 см^2

Таким образом, мы нашли площадь вписанного квадрата.