Question

Помогите решить задачу: Отрезок АР - биссектриса треугольника АВС. На стороне АВ этого треугольника взята точка М такая, что АМ:МВ=119:256 и СМ перпендикулярно АР. Найдите АС, если АВ=3000.

Answer 1

Поскольку АР - биссектриса и СМ ⊥ АР, т.е. AP - высота треугольника MAС, то ΔМАС - равнобедренный, АМ = АС, тогда

Пусть AM = 119x и BM = 256x, тогда AB = 119x + 256x = 375x

375x = 3000

x = 8

Следовательно, AC = AM = 119x = 119 * 8 = 952

Ответ: 952.

Answer 2

Для начала заметим, что у нас есть биссектриса треугольника $ABC$, проходящая через точку $R$ на стороне $BC$. Тогда из свойств биссектрисы мы знаем, что:

$\frac{AR}{BR} = \frac{AB}{BC} \quad\quad (1)$

Также мы знаем, что точка $M$ находится на стороне $AB$ и делит ее в отношении $AM:MV=119:256$. Это означает, что:

$AM = \frac{119}{375}AB \quad\quad (2)$ $MV = \frac{256}{375}AB \quad\quad (3)$

Теперь мы можем найти отношение сторон треугольника $ACM$. Из подобия треугольников $AMC$ и $BMC$ мы знаем, что:

$\frac{AC}{BC} = \frac{AM}{BM} \quad\quad (4)$

Заметим, что треугольники $ABR$ и $ACR$ подобны по двум углам, поэтому:

$\frac{AC}{AR} = \frac{BC}{BR} \quad\quad (5)$

Используя формулу (1), мы можем переписать (5) как:

$\frac{AC}{AB} = \frac{BC}{AB} \cdot \frac{AR}{BR} = \frac{BC}{AB} \cdot \frac{AB}{BC} = 1$

Таким образом, мы получаем, что $AC = AB = 3000$.

Ответ: $AC=3000$.