Question

Докажите, что радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, в два раза больше радиуса окружности, вписанной в него.

Answer 1

Центры обоих окружностей совпадают с точкой пересечения медиан, которые делятся этой точкой в отношении 1:2. Поэтому радиус вписанной окружности в 2 раза меньше радиуса описанной окружности.

Answer 2

Пусть у нас есть равносторонний треугольник со стороной длины a. Тогда радиус R окружности, описанной около него, будет равен:

R = a/√3

Чтобы найти радиус r вписанной окружности, нам нужно найти высоту треугольника, которая будет проходить через его центр. Эта высота будет равна:

h = a*√3/2

Затем мы можем найти радиус r, используя формулу для площади треугольника:

S = (1/2)ar

Заменив S на выражение для площади через высоту, получим:

(1/2)ar = (1/2)a√3/2*(a/2)

Решая эту уравнение относительно r, получим:

r = a/2√3

Теперь мы можем сравнить R и r:

R/r = (a/√3) / (a/2√3) = 2

Таким образом, радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, в два раза больше радиуса окружности, вписанной в него.