Question

Площадь прямоугольного треугольника равна 162√3 Один из острых углов равен 60°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Answer 1

Ответ:

18

Объяснение:

∠A = 90° - ∠B = 90° - 60° = 30°, так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Пусть ВС = а, тогда АВ = 2а (против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы).

По теореме Пифагора:

АС = √(АВ² - ВС²) = √(4а² - а²) = √(3а²) = а√3

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

$S=\dfrac{AC\cdot BC}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}\cdot a}{2}=\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{2}$

По условию S = 162√3.

$\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{2}=162\sqrt{3}$

$a^{2}\sqrt{3}=324\sqrt{3}$

a² = 324

a = 18

BC = 18

Answer 2

Пусть прямоугольный треугольник имеет катеты $a$ и $b$ и гипотенузу $c$. Так как один из острых углов равен $60^\circ$, то мы знаем, что противолежащий этому углу катет $a$ равен $b/\sqrt{3}$.

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ab$. Подставляя известные значения, получаем:

$$\frac{1}{2}ab = 162\sqrt{3}$$

Отсюда можно выразить один катет через другой:

$$a = \frac{324\sqrt{3}}{b}$$

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения $b$:

$$c^2 = a^2 + b^2 = \frac{324 \cdot 3}{b^2} + b^2 = \frac{972}{b^2} + b^2$$

Чтобы найти минимальное значение $c$, нам нужно найти минимум функции $f(b) = \frac{972}{b^2} + b^2$. Для этого возьмём производную:

$$f'(b) = -\frac{1944}{b^3} + 2b$$

Найдём нули производной:

$$-\frac{1944}{b^3} + 2b = 0 \quad \Rightarrow \quad b^4 = \frac{972}{b} \quad \Rightarrow \quad b^5 = 972 \quad \Rightarrow \quad b = \sqrt[5]{972}$$

Подставляем этот результат в формулу для $a$:

$$a = \frac{324\sqrt{3}}{\sqrt[5]{972}} \approx 37.1$$

Таким образом, длина катета, прилежащего к углу $60^\circ$, составляет около 37.1.