Question

Правильные треугольники ABC и DBC расположены так, что вершина D проектируется в центр треугольника ABC. Вычислите угол между плоскостями этих треугольников.

Answer 1

Пусть O центр треугольника ABC , M - середина стороны   BC .  Ясно  AM ⊥BC   и   DM  ⊥ BC [ в равнобедренном (здесь намного больше _ правильном ) треугольнике медиана  проведенная к основанию ,является высотой и биссектрисой) .
---
∠AMD - искомый угол (линейный угол двугранного угла  ABCD ) .
Из прямоугольного  ΔDO M :  cos∠A MD= O M/D M =(1/3)A M / D M =1/3.
* * *  A M=D M  т.к.   ΔABC =ΔDBC  * * *
∠A MD= arccos(1/3).

ответ :  arccos(1/3).

Answer 2

Поскольку вершина D проектируется в центр треугольника ABC, то отрезки AD, BD и CD являются медианами треугольника ABC. Это означает, что точка пересечения медиан, точка D, делит каждую медиану в отношении 2:1. Таким образом, мы можем найти координаты точки D, используя среднее значение координат вершин треугольника ABC.

Пусть координаты вершин треугольника ABC равны A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) и C(x3, y3, z3). Тогда координаты точки D равны:

D((x1 + x2 + x3)/3, (y1 + y2 + y3)/3, (z1 + z2 + z3)/3)

Теперь мы можем найти векторы AB и AC, используя координаты их вершин:

AB = <x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1> AC = <x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1>

Чтобы найти нормаль к плоскости треугольника ABC, мы можем найти их векторное произведение:

n = AB x AC

Теперь рассмотрим треугольник DBC. Пусть координаты вершин этого треугольника равны D(xd, yd, zd), B(x2, y2, z2) и C(x3, y3, z3). Векторы DB и DC равны:

DB = <x2 - xd, y2 - yd, z2 - zd> DC = <x3 - xd, y3 - yd, z3 - zd>

Нормаль к плоскости DBC равна их векторному произведению:

n' = DB x DC

Угол между плоскостями треугольников ABC и DBC равен углу между их нормалями. Мы можем найти косинус этого угла, используя скалярное произведение нормалей и их длины:

cos(theta) = (n · n') / (|n| · |n'|)

где · обозначает скалярное произведение, а | | обозначает длину вектора.

Итак, мы нашли все необходимые величины для вычисления угла между плоскостями треугольников ABC и DBC. Остается только вычислить косинус и взять его аркосинус, чтобы получить значение угла в градусах.