Question

!!!!Сапайте, вопрос жизни и смерти, контрольная ,осталась только эта задача,нимогу решить!!! Равнобокая трапеция с основаниями 6 и 8 см и острым углом 45 градусов вращается вокруг большего основания. Найдите объем тела вращения

Answer 1

Решение дано на фото.

Answer 2

Для решения этой задачи, нужно использовать формулу для объёма тела вращения:

V = ∫[a, b] πy^2 dx

где a и b - это границы интегрирования, y - расстояние от оси вращения до элементарного поперечного сечения, а x - координата элементарного поперечного сечения.

Найдём сначала уравнение боковой поверхности трапеции. Пусть AB = 6 см и CD = 8 см - основания трапеции, EF - высота. Так как трапеция равнобокая и имеет острый угол 45 градусов, то её боковые стороны равны друг другу и равны (8 - 6)/2 = 1 см. Тогда боковая поверхность трапеции равна:

Sб = 1/2 * (AB + CD) * EF = 7EF

Найдём высоту EF. Пусть G - середина большего основания, то есть BG = GD = 4 см. Тогда можно составить треугольник ABG, в котором угол BAG = 45 градусов, а стороны AB = 6 см и BG = 4 см. Найдём третью сторону:

AG = √(AB^2 + BG^2) = √(6^2 + 4^2) = 2√13 см

Теперь найдём высоту треугольника ABG, опущенную на основание AB:

EF = AG * sin(BAG) = 2√13 * sin(45) = 2√13 / √2 = √26 см

Теперь можно найти объём тела вращения. Пусть x - это координата элементарного поперечного сечения, которое находится на расстоянии y от оси вращения. Тогда радиус окружности, получающейся при вращении этого сечения, будет равен y, а площадь этой окружности - πy^2. Расстояние y можно найти из подобия треугольников ABG и MNP (см. рисунок, где M и N - точки на основании AB, а P - точка на боковой стороне):

y / BG = MP / NP

y / 4 = x / MN

MN / AB = NP / AG

MN / 6 = NP / 2√13

NP = 3MN / √13

MP + NP = 8 - 6x / 2 = 4 - 3x

y = BG * MP / NP = 4x / √13

Теперь можно записать интеграл для объёма тела вращения:

V = ∫[0, 8] πy^2 dx =