Question

Найдите площадь равнобокой трапеции, основания которой раны 15 см и 33 см, а диагонали являются биссектрисами острых углов.

Answer 1

S=(a+b)·h/2

a=33

b=15

осталось найти h.

Так как  диагонали являются биссектрисами острых углов, то

∠1=∠2

∠2=∠3 - внутренние накрест лежащие углы

Δ АВС - равнобедренный

АВ=ВС=СD=15 cм

Проводим высоты из вершин верхнего основания на нижнее.

Они разбивают трапецию на два равных прямоугольных треугольника

и прямоугольник.

В прямоугольных треугольниках гипотенуза 15, а катет

(33-15)/2=9

Тогда второй катет, являющийся высотой трапеции по теореме Пифагора равен 12.

h= 12=√(15²-9²)

О т в е т. S=(a+b)·h/2=(15+33)·12/2=288 см²

Answer 2

Для решения задачи нужно воспользоваться свойствами равнобедренной трапеции и биссектрис треугольника.

Из свойств биссектрис треугольника известно, что они делят соответствующие углы на две равные части и что точка пересечения биссектрис лежит на высоте, опущенной из вершины треугольника на основание.

Таким образом, диагонали трапеции делят ее на два треугольника, каждый из которых равнобедренный. При этом, боковые стороны каждого треугольника равны половине суммы оснований трапеции:

$$BC = \frac{15+33}{2} = 24.$$

Так как биссектрисы являются высотами для каждого из треугольников, то:

$$AD = 2BE = 2\cdot\frac{2}{3}AC = \frac{4}{3}AC.$$

Из теоремы Пифагора для треугольника $ABC$:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2,$$

где $AB = CD$ - это основания трапеции, а $BC$ - это боковая сторона равнобедренного треугольника. Подставляя известные значения:

$$AC^2 = (33-15)^2 + 24^2 = 576,$$

$$AC = \sqrt{576} = 24\sqrt{2}.$$

Тогда:

$$AD = \frac{4}{3}AC = \frac{4}{3}\cdot24\sqrt{2} = 32\sqrt{2}.$$

Площадь каждого из треугольников равна:

$$S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2}\cdot AD \cdot BD = \frac{1}{2}\cdot 32\sqrt{2} \cdot 15 = 240\sqrt{2}.$$

Так как трапеция состоит из двух таких треугольников, то ее площадь равна:

$$S_{\text{трапеции}} = 2\cdot S_{\triangle ABD} = 480\sqrt{2}.$$

Таким образом, площадь данной трапеции равна $480\sqrt{2}$ квадратных сантиметров.