Question

Дано: ABCD - параллелограмм; АС пересекает BD в точке О; OP=OD; OK=OB. Док-ть: Что PBKD - прямоугольник.

Answer 1

Пиши следующее решение

Answer 2

Для доказательства того, что PBKD является прямоугольником, необходимо показать, что его противоположные стороны параллельны и что углы при его вершинах являются прямыми.

1. Стороны PB и KD параллельны: Из условия OK=OB следует, что треугольники ODK и OBK равнобедренные, поэтому OD=OK и BD=2OB. Также из параллельности сторон параллелограмма ABCD следует, что AC||BD. Поэтому треугольники ACO и BDO подобны, что дает OD/BD = OC/AC. Учитывая, что OD=OK и BD=2OB, получим 2OK/2OB = OC/AC, откуда OK=OBOC/AC. Также из подобия треугольников ACO и BDO следует, что OD/BD=OC/AC, поэтому OD=BDOC/AC. Следовательно, OBOC/AC=BDOC/AC, и, сокращая на OC/AC, получаем OB=BD. Из этого следует, что PB и KD параллельны.

2. Углы при вершинах P, B и K прямые: Так как OP=OD, то треугольник OPD - равнобедренный. Из этого следует, что угол ODP равен углу OPD. Однако из параллельности сторон AB и CD следует, что угол ODP равен углу ABC, а угол OPD равен углу BCD. Таким образом, углы ABC и BCD являются смежными и равными, что означает, что угол ABC является прямым. Аналогично можно показать, что углы CBD и KBC являются прямыми.

Таким образом, мы показали, что PBKD является прямоугольником, так как его противоположные стороны параллельны и углы при его вершинах являются прямыми.