Question

Боковая сторона равнобедренной трапеции равна 12см. Найдите периметр трапеции, если известно, что в неё можно вписать окружность.

Answer 1

Если в четырёхугольник можно вписать окружность, значит у него суммы противоположных сторон равны.

В равнобедренной трапеции боковые стороны равны. Сумма боковых сторон  12+12=24 см, значит сумма оснований тоже 24.

периметр трапеции равен 48 см

Answer 2

Поскольку в трапецию можно вписать окружность, то это означает, что боковые стороны параллельны и что диагонали трапеции перпендикулярны друг другу. Более того, из свойств вписанной окружности следует, что сумма длин оснований трапеции равна длине окружности, вписанной в трапецию.

Пусть основания трапеции имеют длины a и b, где a>b. Тогда по свойству равнобедренной трапеции, боковая сторона равна полусумме оснований:

bok = (a + b) / 2

Также по свойству вписанной окружности, периметр трапеции равен сумме длин её сторон, то есть:

P = a + b + 2 * bok

Теперь осталось найти длины оснований a и b. Заметим, что диагонали трапеции делят её на две прямоугольные треугольники, в каждом из которых один катет равен b/2, а другой равен высоте h. Таким образом, для каждого треугольника верно:

h^2 + (b/2)^2 = bok^2

h^2 + b^2/4 = ((a+b)/2)^2 = bok^2

h^2 + b^2/4 = (a^2 + 2ab + b^2)/4

h^2 = (a^2 - b^2/4)/4

h = sqrt((a^2 - b^2/4)/4)

Теперь мы можем выразить длины оснований через боковую сторону и высоту:

a = bok + sqrt(bok^2 - h^2) = bok + sqrt(bok^2 - (a^2 - b^2/4)/4)

b = bok - sqrt(bok^2 - h^2) = bok - sqrt(bok^2 - (a^2 - b^2/4)/4)

Осталось только подставить найденные значения a и b в формулу для периметра:

P = a + b + 2 * bok = (bok + sqrt(bok^2 - (a^2 - b^2/4)/4)) + (bok - sqrt(bok^2 - (a^2 - b^2/4)/4)) + 2 * bok

P = 4 * bok