Question

Докажите, что если точка пересечения диагоналей трапеции равноудалена от её сторон, то эта трапеция является параллелограммом

Answer 1

1) Пусть ABCD - трапеция, ВС и AD основания трапеции, O - точка пересечения диагоналей.

2) Рассмотрим треугольники BOC и AOD:

     <ВОС = <AOD (вертикальные)

     <CBO = <ODA (накрестлежащие при параллельных прямых AD и BC)

     <BCO = <OAD  (накрестлежащие при параллельных прямых AD и BC)

     Отсюда, треугольники  BOC и AOD подобны

3) Но высоты в этих треугольниках равны ( по условию) ⇒ коэффициент подобия равен 1, т. е. треугольники равны ⇒ BC = AD

4) По признаку параллелограмма (противоположные стороны равны и параллельны) четырехугольник является не трапецией, а параллелограммом.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 2

Рассмотрим трапецию ABCD с точкой пересечения диагоналей O. Пусть AB и CD – параллельные стороны трапеции, причем AB > CD. Тогда мы можем разбить трапецию на два треугольника: AOD и BOC, где O – точка пересечения диагоналей, а AD и BC – непараллельные стороны трапеции.

Так как O равноудалена от сторон трапеции, то ее можно разделить на две равные части относительно точки O. То есть, OD = OC и OA = OB.

Рассмотрим треугольники AOD и BOC. Из равенства сторон следует, что эти треугольники равны между собой по двум сторонам и углу между ними (AO = BO, OD = OC и угол AOD = угол BOC). Таким образом, треугольники AOD и BOC равны.

Поскольку треугольники равны, то их высоты, опущенные на одну и ту же сторону, равны между собой. Обозначим через h1 высоту, опущенную на сторону AB, и через h2 – высоту, опущенную на сторону CD. Тогда, так как треугольники AOD и BOC равны, имеем:

h1 = AOsin(AOD) = BOsin(BOC) = h2.

То есть, высоты треугольников, опущенные на разные стороны трапеции, равны между собой.

Теперь рассмотрим параллелограмм ABED, который можно получить из трапеции ABCD, проведя параллельные линии AB и CD через точки AD и BC соответственно. Поскольку AB и CD параллельны, то ABED – параллелограмм.

Также заметим, что треугольник ABD и треугольник CDA равны между собой, так как они имеют равные основания AB и CD и равные высоты h1 и h2. Следовательно, углы ABD и CDA равны между собой.

Из равенства углов и параллельности сторон AB и CD следует, что углы BED и AED также равны между собой. То есть, ABED – равнобедренный параллелограмм, а также прямоугольный, так как углы BED и AED в сумме дают 180 градусов.

Таким образом, мы показ