Question

Длины отрезков,на которые диагональ трапеции делит среднюю линию,относятся как 3:7.Найти основания трапеции,если их разность равна 20 см.

Answer 1

  Обозначим трапецию АВСД, среднюю линию -КМ, точку ее пересечения диагональю - О.
  Пусть коэффициент отношения отрезков средней линии будет а. 
Тогда КО=3а, ОМ=7а.
КО- средняя линия ∆ АВС. ⇒ВС=6а
ОМ - средняя линия треугольника АСД⇒
АД=14а. 
  По условию 14а-6а=20 см⇒
а=2,5 см
ВС=2,5*6=15 см
АД=2,5:14=35 см
35-15=20 см

Answer 2

Пусть $ABCD$ - трапеция с основаниями $AB$ и $CD$ и средней линией $EF$, где $E$ и $F$ - середины боковых сторон $BC$ и $AD$ соответственно. Пусть диагональ $AC$ делит среднюю линию $EF$ на отрезки $EG$ и $GF$, причем $EG:GF=3:7$. Пусть $AB-CD=20$.

Так как $E$ и $F$ - середины боковых сторон, то $EF=\frac{1}{2}(BC+AD)$. Также, так как $AC$ - диагональ трапеции, то она делит ее на два подобных треугольника $ABC$ и $ACD$. Из подобия треугольников $ABC$ и $ACD$ следует, что $\frac{AB}{CD}=\frac{BC}{AD}$.

Обозначим $BC=x$ и $AD=y$. Тогда $EF=\frac{1}{2}(x+y)$. Также, из подобия треугольников $ABC$ и $ACD$ следует, что $\frac{AB}{CD}=\frac{x+y}{y}=\frac{x}{y}$. Учитывая, что $AB-CD=20$, получаем систему уравнений:

$$\begin{cases} \frac{x}{y}=1+\frac{20}{y} \\ \frac{EG}{GF}=\frac{3}{7} \\ \end{cases}$$

Решая эту систему уравнений, получаем:

$$\begin{aligned} &\frac{x}{y}=1+\frac{20}{y}=1+\frac{3}{7}\cdot\frac{y}{\frac{1}{2}(x+y)} \\ &\frac{x}{y}=1+\frac{20}{y}=\frac{7}{4}\cdot\frac{EG}{GF}=\frac{7}{4}\cdot\frac{3}{7}=\frac{3}{4} \\ &\frac{x}{y}=1+\frac{20}{y}=\frac{3}{4} \\ &y=40 \\ &x=y+20=60 \\ \end{aligned}$$

Таким образом, основания трапеции равны $AB=60$ и $CD=40$.