Question

Три данные точки соединены попарно отрезками. Докажите, что все отрезки лежат в одной плоскости

Answer 1

Через три точки можно провести единственную плоскость, назовем ее АВС, по названию точек.

А∈(АВС) и В∈(АВС)⇒ прямая АВ ⊂(АВС), а значти отрезок [AB}⊂(АВС).

И так про два других.

Answer 2

Для того чтобы доказать, что все отрезки лежат в одной плоскости, нам нужно показать, что треугольник, образованный этими тремя точками, лежит в одной плоскости. Это можно сделать, используя определение плоскости в трехмерном пространстве.

Пусть имеются три точки A, B и C, соединенные отрезками AB, AC и BC соответственно. Рассмотрим векторы AB и AC, образующие стороны треугольника ABC. Тогда векторное произведение этих двух векторов дает нормальный вектор к плоскости, содержащей треугольник ABC. Обозначим этот нормальный вектор как n.

n = AB x AC

Теперь для каждой точки треугольника ABC (A, B, C) вычисляем ее векторную координату в трехмерном пространстве. Если все три точки лежат в одной плоскости, то их векторные координаты должны удовлетворять уравнению плоскости:

n * (P - A) = 0

где P - векторная координата любой точки в плоскости.

Если это уравнение выполняется для всех трех точек A, B и C, то треугольник ABC лежит в одной плоскости, а значит все отрезки AB, AC и BC лежат в одной плоскости.