Question

Про тетраэдр ABCD известно, что AB · CD = AC · BD = AD · BC. Пусть IA, IB, IC , ID — центры окружностей, вписанных в треугольники BCD, CDA, DAB и ABC соответственно. Докажите, что отрезки AIA, BIB, CIC , DID пересекаются в одной точке.

Answer 1

Нам даны соотношения сторон тетраэдра:

AB*CD = AC*BD = AD*BC. Или, сгруппировав их по другому, имеем:

Для треугольников АВС и DBC с общей стороной ВС:

AB/AC=BD/DC. (1)

Для треугольников АВС и ABD с общей стороной АВ:

AC/BC=AD/BD. (2)

Для треугольников АВС и ADC с общей стороной АС:

AB/BC=AD/DC. (3)

Эти отношения равны между собой (дано).

Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении биссектрис его внутренних углов, а биссектрисы делят противоположные стороны в отношении прилегающих сторон (свойство).

Причем это свойство имеет обратную силу, то есть, если прямая, проведенная из вершины угла треугольника делит противоположную сторону в отношении прилегающих сторон, то эта прямая - биссектриса

угла.

Если провести в наших треугольниках биссектрисы к общим сторонам, то

они пересекутся в точках, лежащих на этих сторонах в силу соотношений

(1), (2) и (3):

AID и DIA - в точке Н, например, а CID и DIC - в точке К. То же самое

и с другими биссектрисами.

Следовательно, точки А,Н и D лежат в одной плоскости АНD и прямые AIA и DID пересекаются.

Точно так же в плоскости АСN лежат прямые AIA и CIC, которые пересекаются.

Прямые DID и CIC лежат в плоскости DCK, и также пересекаются.

Итак, прямые AIA и DID имеют общую точку.

А прямая CIC также имеет общую точку и с прямой AIA и с прямой DID,

но лежит в другой плоскости, следовательно эта точка должна быть одной и той же общей точкой.

То же и с пересекающимися прямыми DID и ВIВ, которые лежат в

плоскости BMD.

Имеем четыре пары пересекающихся прямых (AIA и DID, AIA и CIC,

DID и CIC, DID и ВIВ), лежащих в четырех разных плоскостях (АНD,АСN,DCK и BMD соответственно).

Эти выводы справедливы для любых пар данных нам отрезков:

Если три или более прямых,лежащих в разных плоскостях, попарно

пересекаются, то они имеют одну общую точку.

Следовательно, данные нам отрезки пересекаются в одной точке.

Что и требовалось доказать.

Answer 2

Обозначим через $r_A$, $r_B$, $r_C$ и $r_D$ радиусы вписанных окружностей в треугольники $BCD$, $CDA$, $DAB$ и $ABC$ соответственно. Обозначим также через $S_{XYZ}$ площадь треугольника $XYZ$.

Для начала заметим, что условие $AB \cdot CD = AC \cdot BD = AD \cdot BC$ означает, что точка $O$, в которой пересекаются диагонали тетраэдра $ABCD$, является точкой пересечения медиан его граней.

Заметим, что центр вписанной окружности треугольника $BCD$ является точкой пересечения биссектрис углов $BCD$ и $CBD$. Обозначим через $E$ точку пересечения этих биссектрис. Аналогично определим точки $F$, $G$ и $H$ для треугольников $CDA$, $DAB$ и $ABC$ соответственно.

Заметим, что точки $E$, $F$, $G$ и $H$ являются точками пересечения рёбер тетраэдра $ABCD$. Обозначим через $M_{AB}$ точку пересечения отрезка $EH$ с ребром $AB$, аналогично определим точки $M_{BC}$, $M_{CD}$ и $M_{DA}$ для рёбер $BC$, $CD$ и $DA$ соответственно.

Для начала заметим, что точки $E$, $F$, $G$ и $H$ лежат на одной плоскости, которая является плоскостью грани $BCD$. Следовательно, $M_{BC}$ лежит на прямой $EF$, аналогично $M_{CD}$ лежит на прямой $FG$ и т.д.

Далее, заметим, что треугольники $M_{AB}EH$, $M_{BC}FG$, $M_{CD}GH$ и $M_{DA}EF$ подобны друг другу в силу того, что соответствующие углы равны. Следовательно, отношение длины отрезка $M_{AB}M_{CD}$ к длине отрезка $M_{BC}M_{DA}$ равно отношению площадей треугольников $M_{AB}EH$ и $M_{CD}GH$ к площадям треугольников $M_{BC}FG$ и $M_{DA}EF$. Но эти отношения равны, так как треугольники $BCD$, $CDA$, $DAB$ и $ABC$ подобны друг другу в сил