Question

прямой MN, если даны А(2,1,0), M(3,-2,1), N(2,-3,0)​Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку А, пенпиндикулярно

Answer 1

$A(2,1,0)\; \; ,\; \; M(3,-2,1)\; \; ,\; \; N(2,-3,0)\\\\\overline {MN}=(-1,-1,-1)\; \; \Rightarrow\; \; \vec{n}_{\pi }=(1,1,1)\\\\\pi :\; \; A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\\\\1\cdot (x-1)+1\cdot (y-1)+1\cdot (z-0)=0\\\\\pi :\; \; x+y+z-2=0$

Answer 2

Для того чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через точку А и перпендикулярной прямой MN, нам нужно знать направляющий вектор прямой MN. Направляющий вектор прямой можно найти как разность координат конечной и начальной точек прямой:

$\vec{v} = \vec{MN} = \vec{N} - \vec{M} = (2, -3, 0) - (3, -2, 1) = (-1, -1, -1)$

Теперь мы знаем направляющий вектор прямой и можем найти нормальный вектор плоскости, проходящей через точку А и перпендикулярной прямой MN. Так как плоскость должна быть перпендикулярна прямой, её нормальный вектор должен быть параллелен вектору, полученному из произведения векторов $\vec{v}$ и $\vec{AM}$:

$\vec{n} = \vec{v} \times \vec{AM} = (-1, -1, -1) \times (0, -1, 1) = (-1, 1, -1)$

Теперь мы знаем нормальный вектор плоскости и точку, через которую она проходит, и можем записать её уравнение в общем виде:

$Ax + By + Cz + D = 0$

где коэффициенты A, B, C и D определяются из нормального вектора и координат точки А:

$-x + y - z + D = 0$

Чтобы найти D, подставим координаты точки А в уравнение плоскости:

$-2 + 1 + 0 + D = 0$

$D = 1$

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку А и перпендикулярной прямой MN, будет иметь вид:

$-x + y - z + 1 = 0$