Question

докажите что катетер прямоуголь треугольника лежащий против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы. сформулируйте и докажите обратное утверждение

Answer 1

Угол 30° всегда равен половине гипотенузы

Answer 2

Для доказательства данного утверждения рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где угол B равен 90 градусов, угол A равен 30 градусов, а сторона AB является гипотенузой треугольника. Пусть CD является катетом, лежащим против угла A.

Так как угол A равен 30 градусам, то угол C равен 60 градусов, так как сумма углов треугольника равна 180 градусов. Тогда, применив теорему синусов к треугольнику ABC, мы получим:

CD/sin(30) = AB/sin(60)

CD/0.5 = AB/√3

CD = AB/(2√3)

Таким образом, мы доказали, что катетер CD, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы AB, разделенной на корень из трех.

Теперь рассмотрим обратное утверждение: если в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла, равен половине гипотенузы, то данный угол равен 30 градусам.

Пусть в прямоугольном треугольнике ABC катет CD, лежащий против угла A, равен половине гипотенузы AB. Тогда, согласно нашему доказательству, мы можем записать:

CD = AB/(2√3)

Применим теорему косинусов к треугольнику ABC:

cos(A) = CD/AB

cos(A) = AB/(2AB√3)

cos(A) = 1/(2√3)

A = 30

Таким образом, мы доказали обратное утверждение, что если в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла, равен половине гипотенузы, то данный угол равен 30 градусам.