Question

В треугольниках АВС и А1В1С1 BD и B1D1 - медианы, угол А = углу А1, угол BDA = углу B1D1A1/ Нужно доказать что треугольник BDC подобен треугольнику B1D1C1

Answer 1

ΔABD подобен ΔA₁B₁D₁ по двум углам (на рисунке выделены равные по условию углы).
Тогда
BD : B₁D₁ = AD : A₁D₁
Так как AD = DC и A₁D₁ = D₁C₁ (BD и  B₁D₁ - медианы по условию), то верно и отношение:
BD : B₁D₁ = DС : D₁С₁
а углы BDC  и B₁D₁C₁ равны, как углы, смежные с равными углами.
Поэтому ΔBDC  подобен  ΔB₁D₁C₁ по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

Answer 2

Для доказательства подобия треугольников BDC и B1D1C1 мы можем использовать два признака подобия треугольников:

1. Признак угла-противолежащей стороны: если два треугольника имеют две пары равных углов, то они подобны.
2. Признак соответствующих сторон: если в двух треугольниках соответствующие стороны пропорциональны, то они подобны.

Для начала заметим, что у треугольников BDA и B1D1A1 есть равные углы BDA и A1B1D1, а также углы B и B1D1A1. Это следует из условия задачи.

Теперь рассмотрим треугольники BDC и B1D1C1. Мы можем заметить, что BD и B1D1 являются медианами треугольников ABC и A1B1C1, соответственно. Это означает, что они делят стороны AC и A1C1 пополам. Поэтому мы можем записать:

BD/DC = AB/AC (1) B1D1/D1C1 = A1B1/A1C1 (2)

Также мы знаем, что угол BDA равен углу A1B1D1. Из этих двух равенств и равенства углов B и B1D1A1 следует, что треугольники BDA и A1B1D1 подобны.

Мы можем записать пропорцию для соответствующих сторон в этих треугольниках:

BD/B1D1 = AB/A1B1 (3)

Мы можем использовать (1), (2) и (3), чтобы получить:

DC/D1C1 = AB/A1B1

Теперь мы можем использовать признак соответствующих сторон для доказательства подобия треугольников BDC и B1D1C1. Мы знаем, что соответствующие стороны DC и D1C1 пропорциональны соответствующим сторонам AB и A1B1. Следовательно, треугольники BDC и B1D1C1 подобны, что и требовалось доказать.