Question

Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120 градусам. Высота, проведённая к боковой стороне, равна 9см. Найдите основание треугольника.

Answer 1

Углы при основании равнобедренного треугольника равны по 30 градусов.  Высота дает прямоугольный треугольник, у которого катет, лежащий против угла в 30 градусов,  равен 9 см. Значит гипотенуза прямоугольного треугольника в 2 раза больше, т.е. 18см. Это и есть основание равнобедренного треугольника.

Answer 2

Для решения этой задачи нам потребуются некоторые свойства равнобедренных треугольников. В равнобедренном треугольнике две боковые стороны равны между собой, а угол, противолежащий основанию, равен углу между этими сторонами. Также, высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является биссектрисой угла между боковой стороной и основанием.

Из условия задачи известно, что угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120 градусам. Так как треугольник равнобедренный, то угол между боковой стороной и основанием равен (180 - 120) / 2 = 30 градусам.

Теперь мы можем нарисовать треугольник и обозначить известные величины:

cssCopy code
      A
     / \
    /   \
   /     \
  /   h   \
 B--------C

Здесь A обозначает вершину треугольника, противолежащую основанию BC, B и C обозначают концы основания, а h обозначает высоту, проведённую к боковой стороне AB.

Мы ищем длину основания BC. Обозначим её через x. Тогда мы можем записать два уравнения:

• из биссектрисы угла BAC: AB / x = tan(30)
• из высоты: AB^2 + h^2 = AC^2

Первое уравнение следует из того, что биссектриса угла BAC делит угол на две равные части и образует с боковой стороной AB угол в 30 градусов. Тангенс 30 градусов равен 1/√3.

Второе уравнение следует из теоремы Пифагора, применённой к прямоугольному треугольнику ABC с гипотенузой AC и катетами AB и h.

Решив первое уравнение относительно AB и подставив второе уравнение, получим:

x = 9√3

Таким образом, основание треугольника равно 9√3 см.