Question

Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 42 , боковые ребра равны 75. Найдите площадь поверхности этой пирамиды .

Answer 1

пирамида КАВСД, К вершина, в основании АВСД квадрат, АД=42, КА=КВ=КС=КД=75, площадь основания=АД в квадрате=42*42=1764, треугольник АКД проводим высоту КН (апофема)=медиане на АД, треугольник АКД равнобедренный, АН=НД=АД/2=42/2=21, треугольник АКН прямоугольниый, КН=(КА в квадрате-АН в квадрате)=корень(5625-441)=72, площадь боковой =1/2*периметрАВСД*КН=1/2*(4*42)*72=6048 площадь полная=6048+1764=7812

Answer 2

Поскольку дано, что четырехугольная пирамида правильная, то все ее боковые грани являются равнобедренными треугольниками.

Рассмотрим одну такую боковую грань. Обозначим через $a$ длину основания этой грани, через $h$ — высоту этой грани и через $s$ — длину бокового ребра пирамиды. Тогда, по теореме Пифагора, длина бокового ребра связана с длиной основания и высотой боковой грани следующим образом:

$$s^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2.$$

Из условия задачи известны $a=42$ и $s=75$. Найдем высоту боковой грани:

$$h = \sqrt{s^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{75^2 - \left(\frac{42}{2}\right)^2} = \sqrt{5625-882} = \sqrt{4743}.$$

Площадь каждой боковой грани равна:

$$S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} \cdot 42 \cdot \sqrt{4743} = 21 \sqrt{4743}.$$

Четыре боковые грани в сумме дают площадь боковой поверхности пирамиды:

$$S_{\text{бок}} = 4S_{\text{бок}} = 4 \cdot 21 \sqrt{4743} = 84 \sqrt{4743}.$$

Осталось найти площадь основания пирамиды. Поскольку пирамида правильная, ее основание — квадрат со стороной $42$. Тогда его площадь равна:

$$S_{\text{осн}} = a^2 = 42^2 = 1764.$$

Площадь поверхности пирамиды равна сумме площадей ее боковой поверхности и основания:

$$S = S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}} = 84 \sqrt{4743} + 1764 \approx 3708,53.$$

Ответ: площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна примерно $3708,53$ квадратных единиц.