Question

В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 11. Найдите её среднюю линию... Ответ подробно если можно 

Answer 1

По свойству р/б трапеции: если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота h равна полусумме оснований ,т.е h = (a + b)/2,
но средняя линия трапеции m тоже равна полусумме оснований (a + b)/2 ,

значит средняя линия равна высоте m = h = 11
Ответ :11

Answer 2

Пусть ABCD - равнобедренная трапеция, где AB || CD, AB=CD. Пусть EF и GH - ее диагонали, пересекающиеся в точке O, причем EF перпендикулярна GH. Пусть K и L - середины боковых сторон AB и CD соответственно, а M и N - середины диагоналей EF и GH соответственно.

Так как трапеция ABCD равнобедренная, то ее диагонали EF и GH равны между собой, т.е. EO=OF=OG=OH=x (рисунок 1).

<img src="https://i.imgur.com/YY6oRJu.png" />

Рассмотрим прямоугольный треугольник EOM. Мы знаем, что EM является средней линией трапеции ABCD, а MO - ее высотой. Значит, по теореме Пифагора:

$$EM^2 = EO^2 - OM^2 = x^2 - \left(\frac{11}{2}\right)^2 = x^2 - \frac{121}{4}$$

Аналогично, в прямоугольном треугольнике HON:

$$HN^2 = HO^2 - ON^2 = x^2 - \left(\frac{11}{2}\right)^2 = x^2 - \frac{121}{4}$$

Таким образом, мы получили, что длины средних линий трапеции ABCD равны:

$$EM = HN = \sqrt{x^2 - \frac{121}{4}}$$

Осталось найти значение x. Заметим, что треугольники EOM и HON подобны друг другу, так как углы при вершине O равны (они соответственные). Значит, отношение гипотенуз катета в этих треугольниках равно:

$$\frac{EO}{OM} = \frac{HO}{ON}$$

Или, подставляя значения:

$$\frac{x}{\frac{11}{2}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 - \frac{121}{4}}}$$

Перемножая обе части уравнения на знаменатель второй дроби, получим:

$$x\sqrt{x^2 - \frac{121}{4}} = \frac{11}{2}x$$

$$\sqrt{x^2 - \frac{121}{4}} = \frac{11}{2}$$

$$x^2 - \frac{121}{4} = \left(\frac{11}{2}\right)^2$$

$$x^2 = \frac{121}{2}$$

$$x = \sqrt{\frac{121}{2}} = \frac{11\sqrt{2}}{2}$$

Таким образом, средняя лин