Question

В четырехугольнике АВСД на сторонах отмечены четыре точки, делящие стороны в отношении 1:4, считая от вершин В и Д. Докажите, что отмеченные точки являются вершинами параллелограмма

Answer 1

Все по той же схеме, как и если соединены середины сторон.

Пусть К лежит на АВ, L на ВС, M на CD, N на AD.

Тогда  - к примеру - треугольники ABD и AKN подобны (стороны их общего угла BAD пропорциональны) поэтому равны углы AKN и ABD, то есть KN II BD. 

Точно так же доказывается, что LM II BD, LK II AC, MN II AC.

То есть противоположные стороны четырехугольника KLMN параллельны. ЧТД

Answer 2

Обозначим точки деления сторон: $M$ и $N$ на стороне $AB$ и $P$ и $Q$ на стороне $CD$.

Поскольку $M$ делит отрезок $AB$ в отношении $1:4$, а $N$ делит тот же отрезок в отношении $4:1$, то $AN = 4AM$ и $BN = 4BN$.

Аналогично, поскольку $P$ делит отрезок $CD$ в отношении $1:4$, а $Q$ делит тот же отрезок в отношении $4:1$, то $CQ = 4CP$ и $DQ = 4DP$.

Рассмотрим теперь векторы $\overrightarrow{AN}$ и $\overrightarrow{CQ}$: $\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{AB} + 4\overrightarrow{BM},$ $\overrightarrow{CQ} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DQ} = \overrightarrow{CD} + 4\overrightarrow{CP}.$

Заметим, что $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ и $\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{CP}$ (поскольку $M$ и $P$ делят стороны в одном и том же отношении), поэтому: $\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{CD} + 4\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{CQ}.$

Таким образом, $\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{CQ}$, что означает, что точки $A$, $N$, $C$ и $Q$ лежат на одной прямой.

Аналогично можно доказать, что точки $B$, $M$, $D$ и $P$ лежат на одной прямой.

Значит, отмеченные точки $M$, $N$, $P$ и $Q$ являются вершинами параллелограмма, так как его противоположные стороны параллельны и равны.