Question

медиана треугольника образует с его сторонами, выходящие из той же вершины, углы 40° и 70°. докажите, что эта медиана равна половине одной из них.

Answer 1

Решение : ////////////////////////////////////

Answer 2

Пусть треугольник ABC имеет медиану AM, которая образует углы 40° и 70° с линиями, выходящими из вершины A (см. рисунок ниже).

Для доказательства того, что AM равна половине одной из сторон треугольника, нам нужно использовать теорему синусов для треугольника AMB:

$\frac{AM}{\sin{70^\circ}} = \frac{BM}{\sin{40^\circ}}$

Также, мы можем использовать теорему синусов для треугольника ABC, чтобы выразить BM через стороны треугольника:

$\frac{BM}{\sin{70^\circ}} = \frac{AC}{2\sin{A}}$

где A - угол при вершине A.

Объединяя эти два уравнения, мы получаем:

$\frac{AM}{\sin{70^\circ}} = \frac{AC}{2\sin{A}\sin{40^\circ}}$

Так как медиана AM делит сторону BC пополам, мы можем заменить AC на 2BM и получить:

$\frac{AM}{\sin{70^\circ}} = \frac{2BM}{2\sin{A}\sin{40^\circ}}$

$\frac{AM}{BM} = \frac{\sin{70^\circ}}{\sin{A}\sin{40^\circ}}$

Но мы также знаем, что медиана делит сторону BC пополам, что означает, что AM = BM. Заменяя это в уравнении, мы получаем:

$\frac{AM}{BM} = \frac{1}{1} = \frac{\sin{70^\circ}}{\sin{A}\sin{40^\circ}}$

Отсюда следует, что:

$\sin{A}\sin{40^\circ} = \sin{70^\circ}$

Теперь мы можем использовать тригонометрический идентификатор для синуса угла суммы:

$\sin{(A+40^\circ)} = \sin{A}\cos{40^\circ}+\cos{A}\sin{40^\circ}$

Также мы знаем, что углы треугольника суммируются до 180°, что означает, что A+40°+70° = 180°, или A = 70°-40° = 30°.

Заменяя A на 30°, мы получаем:

$\sin{70^\circ}\sin{40^\circ} = \sin{(30^\circ+40^\circ)} = \sin{70^\circ}\cos{40^\circ}+\cos{70^\circ}\sin{40^\circ}$

Отсюда следует, что:

$$$$