Question

Перпендикуляр, проведений через середину бічної сторони рівнобедреного трикутника, ділить висоту, проведену до основи, на відрізки 17 см і 8 см, рахуючи від вершини. Знайдіть площу та периметр даного трикутника.

Answer 1

 Перпендикуляр, проведенный через середину боковой стороны равнобедренного треугольника,  делит высоту, проведенную к основанию, на отрезки 17 см и 8 см, считая от вершины.
Найти площадь и периметр данного треугольника .

-----------

Обозначим вершины треугольника А, В, С, причем АВ=ВС. 

Т.к. ∆ АВС - равнобедренный, высота ВН, проведенная к основанию, является медианой, и, следовательно, ВН - срединный перпендикуляр. Точка пересечения срединных перпендикуляров треугольника - центр описанной вокруг него окружности. 

Расстояние от О  до вершин А, В и С равно радиусу.  R=ВО=СО=17 см. 

∆ СОН - прямоугольный, его гипотенуза и один из катетов - из Пифагоровых троек ( 8, 15,17), ⇒,  НС=15 см ( проверьте по т.Пифагора).

Отсюда АС=2•15=30 см

По т.Пифагора  AB=ВС=√(BH*+CH*)=√(625+225)=√850=5√34 см

Р=30+2•5√34=10•(3+√34) см

S=BH•CH=375 см²

Answer 2

Позначимо рівнобедрений трикутник як ABC, де AB=AC. Нехай D - середина бічної сторони BC, а H - опущена з вершини A висота на сторону BC. Також позначимо точку перетину перпендикуляра, проведеного через D, з висотою AH як P.

Оскільки PD - середина відрізка BC, то PD = DC = AB/2. З рівності трикутників ADP та AHP маємо:

PH = AH - AP = 17 - PD = 17 - AB/2, DP = AP = 8.

Розглянемо трикутник ABD. Оскільки AD = AD, AB = AC, то за теоремою про рівність бічних сторін прилеглих кутів трикутників, маємо кути DAB та DAC рівні. Оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180 градусам, то кути DAB, DAC та A дорівнюють 60 градусам.

Застосуємо теорему Піфагора у трикутниках ADP та AHP:

AP^2 + DP^2 = AH^2, AD^2 = AP^2 + PH^2.

Підставляючи значення знаходимо:

8^2 + (17 - AB/2)^2 = AH^2, AD^2 = 8^2 + (17 - AB/2 - PH)^2.

Розв'язуючи цю систему рівнянь, знаходимо AH = 2AB та PH = AB/2. Також, оскільки DH = BH, то маємо DB = BC - DC = BC - AB/2. Використовуючи теорему Піфагора у трикутнику ADB, маємо:

AB^2 = AD^2 - DB^2 = AD^2 - (BC - AB/2)^2.

Підставляючи значення, знаходимо AB = 24 см.

Отже, ми знайшли всі сторони трикутника ABC: AB = AC = 24 см та BC = 2AB = 48 см. Площа трикутника дорівнює S = (1/2) * AB * BH = (1/2) * 24 * 12 = 144 кв. см. Периметр трикутника дорівнює P = AB + AC + BC = 24 + 24 + 48 = 96 см.