Question

Углы прямоугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию. Найдите биссектрису большего острого угла треугольника, если радиус описанной около него окружности равен 10.

Answer 1

Найдем углы. Меньший х, следующий х+d , больший х+2d.

Уравнения: х+2d=90 и х+х+d+x+2d=180.  x=30, d=30. углы 30, 60 и 90.

Если радиус описанной окружности равен 10, то гипотенуза равна 20.

Сторона АС лежит против угла в 30 градусов, она равна 20/2=10. СВ=10√3.

По свойству биссектрисы СМ:МВ=АС:АВ.

СМ: (10√3-СМ)=10:20⇒2*СМ=10√3-СМ.

СМ=10√3/3. АМ ищем по теореме Пифагора АМ=√(АС²+СМ²)=√100+300/9)=√(400/3) = 20/√3.

Answer 2

Пусть углы прямоугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию с разностью $d$. Тогда углы равны $x$, $x+d$ и $x+2d$, где $x$ - наименьший угол. Из свойств прямоугольного треугольника известно, что $x+2d=90^{\circ}$, откуда $x=90^{\circ}-2d$.

Биссектриса угла равна половине отношения сторон смежных углов. Пусть $y$ - биссектриса угла $x+2d$. Тогда $y=\frac{AB}{BC+AC}$, где $AB$ - сторона, противолежащая углу $x+2d$, $AC$ и $BC$ - оставшиеся стороны.

Согласно закону синусов, $\frac{AB}{\sin (x+2d)}=2R$, где $R=10$ - радиус описанной около угла $x+2d$ окружности. Так как $\sin (x+2d)=\sin 90^{\circ}=1$, то $AB=2R$. Также из того, что углы прямоугольного треугольника составляют арифметическую прогрессию, следует, что $AC=\frac{AB}{\cos (x+d)}$ и $BC=\frac{AB}{\cos x}$.

Теперь можно выразить биссектрису угла $x+2d$:

$y=\frac{AB}{BC+AC}=\frac{2R}{\frac{AB}{\cos x}+\frac{AB}{\cos (x+d)}}=\frac{2R}{AB\cdot\frac{\cos (x+d)+\cos x}{\cos x\cdot \cos (x+d)}}.$

Подставив значения $AB=2R=20$ и $x=90^{\circ}-2d$ в последнее выражение, получим:

$y=\frac{2R}{AB\cdot\frac{\cos (x+d)+\cos x}{\cos x\cdot \cos (x+d)}}=\frac{2\cdot 10}{20\cdot \frac{\cos (3d)+\cos (90^{\circ}-2d)}{\cos (90^{\circ}-2d)\cdot \cos (3d)}}=\frac{2\cdot \cos (90^{\circ}-2d)}{\cos (3d)+\sin 2d}.$

Заметим, что $\cos (90^{\circ}-2d)=\sin 2d$, поэтому

$$y=\frac{2\cdot \cos (90^{\circ}-2d)}{\cos (3d)+\sin 2d}=\frac{2\ось найти значение $y$. Из уравнения $x+2d