Question

В конус, осевое сечение которого равносторонний треугольник, вписана сфера с диаметром D. Найдите площадь полной поверхности конуса.

Answer 1

Ответ:

решение представлено на фото

Answer 2

Пусть высота конуса равна h, а сторона основания равна a. Так как осевое сечение конуса является равносторонним треугольником, то у него все стороны равны a.

Обозначим радиус сферы через R. Так как сфера вписана в конус, то ее центр лежит на оси конуса, и радиус сферы является высотой конуса. Также, из геометрических соображений, известно, что радиус сферы равен половине диаметра, т.е. R = D/2.

Для того, чтобы найти площадь полной поверхности конуса, нужно найти боковую поверхность и добавить к ней площадь основания. Боковая поверхность конуса представляет собой поверхность бокового мантии, которая состоит из сектора круга и треугольника.

Площадь сектора круга равна S1 = πRl, где l - длина дуги окружности, образующей сектор круга. Длина дуги может быть найдена из соотношения длины окружности с радиусом R и центральным углом, соответствующим сектору круга: l = 2πR/3.

Площадь треугольника на боковой поверхности конуса равна S2 = (a/2) * l, где l - длина стороны треугольника, равной a.

Таким образом, площадь боковой поверхности конуса равна Sб = S1 + S2 = πRl + (a/2) * l = πRD/3 + (a/2) * (a * √3/2) = πDh/3 + a^2 * √3/4.

Площадь основания равна Sосн = (πa^2)/4.

Итак, площадь полной поверхности конуса равна Sп = Sб + Sосн = πDh/3 + a^2 * √3/4 + (πa^2)/4.